A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas M e m, localizados em O=(0,0,0) e r=(x, y, z) respectivamente, é dada pela função vetorial
F(x, y, z)=-M m G x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 i+-M m G y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 j+-M m G z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 k
onde G é a constante gravitacional.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional F para mover uma partícula de massa m do ponto A=(raiz7, 3,3) ao ponto B=(0,3,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei da Gravitação de Newton e nos pede para calcular o trabalho feito pelo campo gravitacional ao mover uma partícula de um ponto A para um ponto B. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho em um campo de força gravitacional usando cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula de um ponto a outro é calculado pela integral da força ao longo do caminho percorrido. Matemáticamente, isso é representado por:
W = integralA^B F cdot dr
Mas, olha só, a força gravitacional é um campo conservativo, o que significa que o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso facilita muito nossa vida!

Passo 3

Como o campo é conservativo, podemos usar a energia potencial gravitacional para calcular o trabalho. A relação entre trabalho e energia potencial é:
W = U(A) - U(B)
Onde U(A) e U(B) são as energias potenciais nos pontos A e B, respectivamente. A energia potencial gravitacional é dada por:
U = -G M mr
Aqui, G é a constante gravitacional, M é a massa do objeto que cria o campo gravitacional, m é a massa da partícula, e r é a distância entre a partícula e o centro do campo gravitacional.

Passo 4

Agora, vamos calcular as distâncias dos pontos A e B ao centro do campo gravitacional, que está no ponto O = (0,0,0).
Para o ponto A = (\sqrt{7}, 3, 3), a distância r_A é:
rA = raiz(raiz7)^2 + 3^2 + 3^2 = raiz7 + 9 + 9 = raiz25 = 5
Para o ponto B = (0, 3, 4), a distância r_B é:
rB = raiz0^2 + 3^2 + 4^2 = raiz0 + 9 + 16 = raiz25 = 5

Passo 5

Observamos que r_A = r_B = 5. Isso significa que a partícula está no mesmo nível de energia potencial nos dois pontos. Portanto:
U(A) = -G M m5
U(B) = -G M m5

Passo 6

Calculando o trabalho:
W = U(A) - U(B) = -G M m5 - (-G M m5) = 0

Resposta

O trabalho realizado pelo campo gravitacional para mover a partícula de A para B é 0.

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Calcule os limites:
© lim x 1 sen(x^4-1)x-1
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(b) lim x 0 3 x^2 tg(7x)2 x+1
Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
© lim x 0 5 xln |2 x|
Use a diferenciarado implícito pora determinar partial zpartial x e partial zpartial y: Sen(x y z)=x+2 y+3 z