A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas
e
, localizados em
e
respectivamente, é dada pela função vetorial
onde
é a constante gravitacional.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
para mover uma partícula de massa
do ponto
ao ponto
.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei da Gravitação de Newton e nos pede para calcular o trabalho feito pelo campo gravitacional ao mover uma partícula de um ponto A para um ponto B. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho em um campo de força gravitacional usando cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula de um ponto a outro é calculado pela integral da força ao longo do caminho percorrido. Matemáticamente, isso é representado por:
Mas, olha só, a força gravitacional é um campo conservativo, o que significa que o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso facilita muito nossa vida!
Passo 3
Como o campo é conservativo, podemos usar a energia potencial gravitacional para calcular o trabalho. A relação entre trabalho e energia potencial é:
Onde U(A) e U(B) são as energias potenciais nos pontos A e B, respectivamente. A energia potencial gravitacional é dada por:
Aqui, G é a constante gravitacional, M é a massa do objeto que cria o campo gravitacional, m é a massa da partícula, e r é a distância entre a partícula e o centro do campo gravitacional.
Passo 4
Agora, vamos calcular as distâncias dos pontos A e B ao centro do campo gravitacional, que está no ponto O = (0,0,0).
Para o ponto A = (\sqrt{7}, 3, 3), a distância r_A é:
Para o ponto B = (0, 3, 4), a distância r_B é:
Passo 5
Observamos que r_A = r_B = 5. Isso significa que a partícula está no mesmo nível de energia potencial nos dois pontos. Portanto:
Passo 6
Calculando o trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo gravitacional para mover a partícula de A para B é 0.
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(b)
(b)
Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
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Use a diferenciarado implícito pora determinar
e
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