Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que precisa ser calculado usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto). O exercício nos pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema do Confronto funciona e como aplicá-lo a esse caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema é super útil quando queremos encontrar um limite de uma função complicada. A ideia é que se conseguirmos “apertar” a função entre duas outras funções que têm limites iguais em um ponto, então o limite da função no meio também será esse mesmo valor.
Matematicamente, se temos:
e
então
Agora, vamos aplicar isso ao nosso limite.
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
Queremos encontrar:
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de
,
também se aproxima de
, então
tende a
(porque o logaritmo de um número bem pequeno próximo de zero é um número negativo muito grande).
Então, temos uma forma do tipo
, que geralmente tende a
. Mas vamos usar o Teorema do Confronto para confirmar isso.
Passo 4
Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas funções que limitem nossa função
.
Observamos que, para
próximo de
,
é positivo (já que estamos considerando
pela direita e pela esquerda, mas o valor absoluto garante positividade). Assim, podemos escrever:
Sabemos que
é negativo e tende a
conforme
.
Vamos considerar as inequações:
Multiplicando todos os lados por
(lembre-se de que
pode ser positivo ou negativo, mas próximo de
):
Agora, vamos analisar os limites das funções que estão nos extremos.
Passo 5
Calculando os limites dos extremos:
- Para a função da esquerda:
Sabemos que
tende a
e
tende a
. Então, o produto
tende a
(pois
“puxa” o infinito negativo para zero).
Portanto,
- Para a função da direita:
Já vimos que
e
(pois
tende a
e
é uma constante).
Portanto,
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema do Confronto, já que as funções que limitam nossa função
têm limites iguais a
, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas
e
, localizados em
e
respectivamente, é dada pela função vetorial
onde
é a constante gravitacional.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional para mover uma partícula de massa
do ponto
ao ponto
.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
Calcule os limites:
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Use a diferenciarado implícito pora determinar
e
:
Mostre que:
para