Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
© lim x 0 5 xln |2 x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que precisa ser calculado usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto). O exercício nos pede para encontrar o limite de 5xln |2x| quando x se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Teorema do Confronto funciona e como aplicá-lo a esse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema é super útil quando queremos encontrar um limite de uma função complicada. A ideia é que se conseguirmos “apertar” a função entre duas outras funções que têm limites iguais em um ponto, então o limite da função no meio também será esse mesmo valor.
Matematicamente, se temos:
g(x) <= f(x) <= h(x)
e
limx to a g(x) = limx to a h(x) = L
então
limx to a f(x) = L
Agora, vamos aplicar isso ao nosso limite.

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
f(x) = 5xln |2x|
Queremos encontrar:
limx to 0 5xln |2x|
Primeiro, observamos que quando x se aproxima de 0, 2x também se aproxima de 0, então ln |2x| tende a -infty (porque o logaritmo de um número bem pequeno próximo de zero é um número negativo muito grande).
Então, temos uma forma do tipo 0-infty, que geralmente tende a 0. Mas vamos usar o Teorema do Confronto para confirmar isso.

Passo 4

Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas funções que limitem nossa função f(x).
Observamos que, para x próximo de 0, 2x é positivo (já que estamos considerando x to 0 pela direita e pela esquerda, mas o valor absoluto garante positividade). Assim, podemos escrever:
ln |2x| = ln (2|x|) = ln 2 + ln |x|
Sabemos que ln |x| é negativo e tende a -infty conforme x to 0.
Vamos considerar as inequações:
ln|x| <= ln|2x| <= ln|x| + ln 2
Multiplicando todos os lados por 5x (lembre-se de que x pode ser positivo ou negativo, mas próximo de 0):
5x ln|x| <= 5x ln|2x| <= 5x (ln|x| + ln 2)
Agora, vamos analisar os limites das funções que estão nos extremos.

Passo 5

Calculando os limites dos extremos:
  1. Para a função da esquerda:
limx to 0 5x ln|x|
Sabemos que ln|x| tende a -infty e x tende a 0. Então, o produto x ln|x| tende a 0 (pois x “puxa” o infinito negativo para zero).
Portanto,
limx to 0 5x ln|x| = 0
  1. Para a função da direita:
limx to 0 5x (ln|x| + ln 2) = limx to 0 (5x ln|x| + 5x ln 2)
Já vimos que limx to 0 5x ln|x| = 0 e limx to 0 5x ln 2 = 0 (pois 5x tende a 0 e ln 2 é uma constante).
Portanto,
limx to 0 5x (ln|x| + ln 2) = 0

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema do Confronto, já que as funções que limitam nossa função f(x) têm limites iguais a 0, concluímos que:
limx to 0 5xln |2x| = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas M e m, localizados em O=(0,0,0) e r=(x, y, z) respectivamente, é dada pela função vetorial
F(x, y, z)=-M m G x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 i+-M m G y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 j+-M m G z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 k
onde G é a constante gravitacional.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional F para mover uma partícula de massa m do ponto A=(raiz7, 3,3) ao ponto B=(0,3,4).
Calcule os limites:
© lim x 1 sen(x^4-1)x-1
Use a diferenciarado implícito pora determinar partial zpartial x e partial zpartial y: Sen(x y z)=x+2 y+3 z
Mostre que:
f(z)=-1(z-1)(z-2)=sumn=0^infty 1z^n+1+z^n2^n+1
para 1<|z|<2