Calcule os limites em cada item
lim x 0^+ x^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0 por valores positivos. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite que queremos calcular:
limx 0^+ x^2x
Nesse caso, quando se aproxima de 0, temos uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos determinar o limite diretamente dessa forma.

Passo 3

Para resolver expressões indeterminadas como L = limx 0^+ x^2x , uma técnica útil é aplicar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de ln L = limx 0^+ ln(x^2x) :
ln L = limx 0^+ 2x ln(x)
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite:
limx 0^+ 2x ln(x)
Sabemos que limx 0^+ ln(x)12x tende a limx 0^+ ddx ln(x)ddx ( 12x ) = limx 0^+ 1x-12x^2 = limx 0^+ -2x = 0 quando tende a 0 por valores positivos, e tende a 0. Então, temos uma forma do tipo , que também é indeterminada. Para resolver isso, reescrevemos a expressão como:
Agora, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada para resolver limites de formas indeterminadas como . Derivando o numerador e o denominador:
Então, .

Passo 5

Agora que temos L = e^0 = 1 , podemos encontrar exponenciando ambos os lados:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 0 por valores positivos é 1.

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