Calcule os limites em cada item
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 por valores positivos. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite que queremos calcular:
Nesse caso, quando
se aproxima de 0, temos uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos determinar o limite diretamente dessa forma.
Passo 3
Para resolver expressões indeterminadas como
, uma técnica útil é aplicar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite:
Sabemos que
tende a
quando
tende a 0 por valores positivos, e
tende a 0. Então, temos uma forma do tipo
, que também é indeterminada. Para resolver isso, reescrevemos a expressão como:
Agora, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada para resolver limites de formas indeterminadas como
. Derivando o numerador e o denominador:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar
exponenciando ambos os lados:
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 0 por valores positivos é 1.