Calcule os limites em cada item
lim x 0 x tg(pix)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função tangente se comporta próximo do infinito e como isso interage com o termo que está indo para zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando tende a 0. Se se aproxima de 0, tende a ou , dependendo da direção de .

Passo 3

Agora, observamos que tem um comportamento especial: ela é periódica com período e possui assíntotas verticais em , onde é um número inteiro. Isso significa que, conforme tende ao infinito, oscila rapidamente entre e .

Passo 4

Apesar dessas oscilações, estamos multiplicando por , que está indo para 0. Então, temos uma situação do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , assim quando , .

Passo 5

Substituindo, a expressão fica:
limx to 0 x cdot tan(pix) = limy to infty 1y cdot tan(pi y)
Agora, analisamos quando tende ao infinito.

Passo 6

Sabemos que é uma função oscilante que cresce sem limites próximo das assíntotas verticais, mas está sendo dividida por , que também cresce sem limites. A multiplicação de uma função que cresce sem limites por uma que tende a zero pode resultar em diferentes comportamentos, mas neste caso, essa fração oscila entre valores cada vez menores conforme aumenta.

Passo 7

Mais precisamente, apesar de ser ilimitada, o fator faz com que o produto seja limitado e, na verdade, tende a zero conforme cresce. Isso porque a “velocidade” com que tende a zero supera as oscilações de .

Resposta

Portanto, o limite é:
limx to 0 x cdot tan(pix) = 0

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