Calcule os limites em cada item
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função tangente se comporta próximo do infinito e como isso interage com o termo
que está indo para zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
tende a 0. Se
se aproxima de 0,
tende a
ou
, dependendo da direção de
.
Passo 3
Agora, observamos que
tem um comportamento especial: ela é periódica com período
e possui assíntotas verticais em
, onde
é um número inteiro. Isso significa que, conforme
tende ao infinito,
oscila rapidamente entre
e
.
Passo 4
Apesar dessas oscilações, estamos multiplicando
por
, que está indo para 0. Então, temos uma situação do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
, assim quando
,
.
Passo 5
Substituindo, a expressão fica:
Agora, analisamos
quando
tende ao infinito.
Passo 6
Sabemos que
é uma função oscilante que cresce sem limites próximo das assíntotas verticais, mas está sendo dividida por
, que também cresce sem limites. A multiplicação de uma função que cresce sem limites por uma que tende a zero pode resultar em diferentes comportamentos, mas neste caso, essa fração oscila entre valores cada vez menores conforme
aumenta.
Passo 7
Mais precisamente, apesar de
ser ilimitada, o fator
faz com que o produto
seja limitado e, na verdade, tende a zero conforme
cresce. Isso porque a “velocidade” com que
tende a zero supera as oscilações de
.
Resposta
Portanto, o limite é: