Calcule os limites em cada item
lim x 0^+ x ln 1x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, e para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de logaritmos e a regra de L’Hospital para lidar com formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x ln 1x = -x ln x . Sabemos que limx to 0^+ -x ln x . Então, a expressão fica:
Agora, temos que calcular:

Passo 3

Observamos que quando -x ln x = -ln x1x se aproxima de 0 pela direita:
  • tende a 0
  • tende a
Então, a expressão fica do tipo , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a Regra de L’Hospital.
Vamos reescrever:
Agora, temos uma forma , que é adequada para a regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador limx to 0^+ -1x-1x^2 = limx to 0^+ 1x times x^21 = limx to 0^+ x = 0 em relação a é
  • Derivada do denominador em relação a é
Então, o limite fica:

Resposta

0

Exercícios relacionados