Encontre a derivada
para cada função abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem a função
e precisa encontrar a sua derivada
. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma das técnicas para derivar funções que são divisões de outras funções. Além disso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia quando tivermos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função para aplicar a regra do quociente. Se temos
, então a derivada
é dada por:
No nosso caso,
e
. Precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar derivando
. Isso é uma função composta, então usamos a regra da cadeia. Podemos reescrever
como
. A derivada será:
Outra forma de escrever isso é usando a identidade
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aqui também usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta
onde
. A derivada será:
Passo 5
Com
e
em mãos, vamos usar a regra do quociente para encontrar
:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco mais essa expressão. Vamos fatorar termos comuns no numerador:
Podemos dividir cada termo no numerador por
:
Resposta
A derivada da função é: