Encontre a derivada f'(x) para cada função abaixo:
§ f(x) = sen^2(x) / sen(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem a função e precisa encontrar a sua derivada . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma das técnicas para derivar funções que são divisões de outras funções. Além disso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia quando tivermos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função para aplicar a regra do quociente. Se temos , então a derivada é dada por:
No nosso caso, e . Precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos começar derivando . Isso é uma função composta, então usamos a regra da cadeia. Podemos reescrever como . A derivada será:
Outra forma de escrever isso é usando a identidade , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui também usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta onde . A derivada será:

Passo 5

Com e em mãos, vamos usar a regra do quociente para encontrar :

Passo 6

Podemos simplificar um pouco mais essa expressão. Vamos fatorar termos comuns no numerador:
Podemos dividir cada termo no numerador por :

Resposta

A derivada da função é:

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