Determine o diferencial da função tg x quando x varia de 2,395 a 2,4. Calcule o erro relativo percentual da aproximação com relação ao valor verdadeiro de Delta y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o diferencial da função tg x quando x varia de 2,395 a 2,4. Além disso, devemos calcular o erro relativo percentual da aproximação em relação ao valor verdadeiro de Delta y. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o diferencial de uma função. O diferencial de uma função é dado por:
Onde é a derivada de f(x) e é a variação de x. No nosso caso, , então vamos calcular a derivada dessa função.

Passo 3

A derivada de tg x em relação a x é:
Portanto, o diferencial fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular quando x varia de 2,395 a 2,4. A variação é:
Precisamos calcular no ponto inicial, ou seja, quando .

Passo 5

Calculando para :
Vamos calcular :
Usando uma calculadora:
Então,

Passo 6

Agora, aplicando na fórmula do diferencial:
Esse é o diferencial, uma aproximação da variação de y.

Passo 7

Para encontrar o erro relativo percentual, precisamos calcular o valor verdadeiro de Delta y, que é:
Calculando cada termo:
Então,

Passo 8

Agora, calculamos o erro relativo percentual:

Resposta

O diferencial da função tg x quando x varia de 2,395 a 2,4 é aproximadamente . O erro relativo percentual da aproximação em relação ao valor verdadeiro de Delta y é de aproximadamente .

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