Determine o diferencial da função quando varia de 2,395 a 2,4. Calcule o erro relativo percentual da aproximação com relação ao valor verdadeiro de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o diferencial da função quando varia de 2,395 a 2,4. Além disso, devemos calcular o erro relativo percentual da aproximação em relação ao valor verdadeiro de . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o diferencial de uma função. O diferencial de uma função é dado por:
Onde é a derivada de e é a variação de . No nosso caso, , então vamos calcular a derivada dessa função.
Passo 3
A derivada de em relação a é:
Portanto, o diferencial fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular quando varia de 2,395 a 2,4. A variação é:
Precisamos calcular no ponto inicial, ou seja, quando .
Passo 5
Calculando para :
Vamos calcular :
Usando uma calculadora:
Então,
Passo 6
Agora, aplicando na fórmula do diferencial:
Esse é o diferencial, uma aproximação da variação de .
Passo 7
Para encontrar o erro relativo percentual, precisamos calcular o valor verdadeiro de , que é:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 8
Agora, calculamos o erro relativo percentual:
Resposta
O diferencial da função quando varia de 2,395 a 2,4 é aproximadamente . O erro relativo percentual da aproximação em relação ao valor verdadeiro de é de aproximadamente .