Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando
e
se aproximam de zero. A função é:
Aqui, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e algebra básica para resolver. Precisamos entender como simplificar a expressão para encontrar o valor que ela se aproxima quando
e
chegam perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
Quando
está próximo de zero, podemos aproximar
usando uma expansão em série de Taylor. Para simplificar, sabemos que:
Então, o numerador fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
Podemos fatorar o
da expressão:
Então, o denominador simplifica para
.
Passo 4
Substituindo as aproximações do numerador e denominador na expressão original do limite, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
e
tendem a zero. Como
está próximo de zero,
está próximo de 1. Portanto:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre que os limites abaixo não existem.
f)
f)
Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição
no valor determinado de
.