Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
j) lim substackx 0 y 0 raizx+3-raiz3x+x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando limsubstackx 0 y 0 raizx+3 - raiz3x + x y e se aproximam de zero. A função é:
Aqui, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e algebra básica para resolver. Precisamos entender como simplificar a expressão para encontrar o valor que ela se aproxima quando e chegam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
raizx + 3 - raiz3
Quando raiz3 + x approx raiz3 + x2raiz3 está próximo de zero, podemos aproximar raizx + 3 - raiz3 approx x2raiz3 usando uma expansão em série de Taylor. Para simplificar, sabemos que:
Então, o numerador fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador:
x + x y
Podemos fatorar o x + x y = x(1 + y) da expressão:
Então, o denominador simplifica para .

Passo 4

Substituindo as aproximações do numerador e denominador na expressão original do limite, temos:
raizx + 3 - raiz3x + x y approx x2raiz3x(1 + y) = 12raiz3(1 + y)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando 12raiz3(1 + y) approx 12raiz3 e tendem a zero. Como está próximo de zero, está próximo de 1. Portanto:

Resposta

O limite é .

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