Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando e se aproximam de zero. A função é:
Aqui, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e algebra básica para resolver. Precisamos entender como simplificar a expressão para encontrar o valor que ela se aproxima quando e chegam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
Quando está próximo de zero, podemos aproximar usando uma expansão em série de Taylor. Para simplificar, sabemos que:
Então, o numerador fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador:
Podemos fatorar o da expressão:
Então, o denominador simplifica para .

Passo 4

Substituindo as aproximações do numerador e denominador na expressão original do limite, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando e tendem a zero. Como está próximo de zero, está próximo de 1. Portanto:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Mostre que os limites abaixo não existem.
f)
Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição no valor determinado de .