Mostre que os limites abaixo não existem.
f) lim substackx 1 y 0 (x-1)^2-y^2(x-1)^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite abaixo não existe:
limsubstackx 1 y 0 (x - 1)^2 - y^2(x - 1)^4 + y^2
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente analisando o limite ao aproximar-se do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite exista em duas variáveis, o valor deve ser o mesmo independente de como nos aproximamos do ponto .

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximar de e calcular o limite em cada um deles.

Passo 4

Caminho 1: Vamos fixar (x - 1)^2 - 0^2(x - 1)^4 + 0^2 = (x - 1)^2(x - 1)^4 = 1(x - 1)^2 e deixar se aproximar de 1.
Substituindo na expressão, temos:
À medida que se aproxima de 1, se aproxima de 0, então tende para .
Resultado: O limite ao longo de é .

Passo 5

Caminho 2: Agora, vamos escolher (x - 1)^2 - (x - 1)^2(x - 1)^4 + (x - 1)^2 = 0(x - 1)^4 + (x - 1)^2 = 0 , ou seja, nos aproximamos de ao longo da linha .
Substituindo na expressão, temos:
Resultado: O limite ao longo de é 0.

Passo 6

Como obtivemos resultados diferentes ( e 0) ao abordar o ponto por caminhos diferentes, isso significa que o limite não é o mesmo independente do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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