Mostre que os limites abaixo não existem.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite abaixo não existe:
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente analisando o limite ao aproximar-se do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite exista em duas variáveis, o valor deve ser o mesmo independente de como nos aproximamos do ponto
.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximar de
e calcular o limite em cada um deles.
Passo 4
Caminho 1: Vamos fixar
e deixar
se aproximar de 1.
Substituindo
na expressão, temos:
À medida que
se aproxima de 1,
se aproxima de 0, então
tende para
.
Resultado: O limite ao longo de
é
.
Passo 5
Caminho 2: Agora, vamos escolher
, ou seja, nos aproximamos de
ao longo da linha
.
Substituindo
na expressão, temos:
Resultado: O limite ao longo de
é 0.
Passo 6
Como obtivemos resultados diferentes (
e 0) ao abordar o ponto
por caminhos diferentes, isso significa que o limite não é o mesmo independente do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe.
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j)
j)
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