Calcule os limites, caso exista: lim x 1 x^3-3 x^2+6 x-4x^3-4 x^2+8 x-5

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Isso envolve o conceito de limites de funções racionais, onde a gente precisa simplificar a fração para encontrar o valor. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 1^3 - 3(1)^2 + 6(1) - 4 = 1 - 3 + 6 - 4 = 0 diretamente na expressão. No numerador:
1^3 - 4(1)^2 + 8(1) - 5 = 1 - 4 + 8 - 5 = 0
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a fração para achar o limite.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador: x^3-3x^2+6x-4 = (x - 1)(x^2 - 2x + 4) . Sabemos que é uma raiz porque substituímos e deu 0. Então, é um fator. Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, dividimos o polinômio por e obtemos:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador: x^3-4x^2+8x-5 = (x - 1)(x^2 - 3x + 5) . Testando novamente, sabemos que é uma raiz, então também é um fator. Dividindo por , temos:

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, nossa expressão fica:
(x - 1)(x^2 - 2x + 4)(x - 1)(x^2 - 3x + 5)
A gente pode cancelar o termo x^2 - 2x + 4x^2 - 3x + 5 porque ele aparece no numerador e no denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora é só substituir 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 diretamente:
No numerador:
1^2 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3
No denominador:
33 = 1
Então, o limite é:

Resposta

O limite é igual a 1.

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