Calcule os limites, caso exista: lim x -2 8+x^34-x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de na expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra, especialmente fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 8 + (-2)^34 - (-2)^2 = 8 - 84 - 4 = 00 na expressão para ver se conseguimos o limite de forma direta.
Aconteceu uma indeterminação do tipo . Isso significa que não conseguimos encontrar o limite apenas substituindo o valor, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para tentar cancelar termos iguais. Vamos começar fatorando o numerador 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) = -(x - 2)(x + 2) e o denominador .
O numerador é uma soma de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
O denominador é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
8 + x^34 - x^2 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)-(x - 2)(x + 2)
Podemos cancelar o termo (x^2 - 2x + 4)-(x - 2) = -x^2 - 2x + 4x - 2 no numerador e denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo -(-2)^2 - 2(-2) + 4-2 - 2 = -4 + 4 + 4-4 = -12-4 = 3 :

Resposta

O limite quando se aproxima de é igual a 3.

Exercícios relacionados