Calcule os limites, caso exista:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de na expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra, especialmente fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos o limite de forma direta.
Aconteceu uma indeterminação do tipo . Isso significa que não conseguimos encontrar o limite apenas substituindo o valor, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para tentar cancelar termos iguais. Vamos começar fatorando o numerador e o denominador .
O numerador é uma soma de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
O denominador é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite quando se aproxima de é igual a 3.

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