Nos exercícios 8 e 9 , encontre y', se y = y(x) é definida implicitamente pela equação dada.
arcsen(xy) = x + y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar , onde é definida implicitamente pela equação . Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas implícitas, que nos permite encontrar a derivada de em relação a mesmo quando não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a . Como é uma função de , usamos a regra do produto:
Então, substituindo na equação anterior:

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por :

Passo 5

Distribuindo o termo :
Agora, vamos trazer todos os termos com para um lado e os demais para o outro:

Passo 6

Fatorando no lado esquerdo:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada é dada por:

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