Nos exercícios 8 e 9 , encontre
, se
é definida implicitamente pela equação dada.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar
, onde
é definida implicitamente pela equação
. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas implícitas, que nos permite encontrar a derivada de
em relação a
mesmo quando
não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Como
é uma função de
, usamos a regra do produto:
Então, substituindo na equação anterior:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Passo 5
Distribuindo o termo
:
Agora, vamos trazer todos os termos com
para um lado e os demais para o outro:
Passo 6
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é dada por:
Exercícios relacionados
Deduza as fórmulas dos exercícios 4 e 5 .
Nos exercícios 10 a 12 verifique a igualdade.
Calcule os limites, caso exista:
Calcule os limites, caso exista: