Determine o valor de m de modo que lim x +infty(1+2 mx)^5 x=e^-20.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de tal que o limite seja igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções exponenciais e a definição da constante .

Passo 2

Lembre que uma das definições de limx to infty (1 + ax)^x = e^a é:
[(1+2 mx)^x]^5
No nosso caso, temos (1+2 mx)^x approx e^2m . Podemos reescrever isso como:
(e^2m)^5 = e^10m
Utilizando a definição acima, sabemos que:
Portanto:

Passo 3

A questão diz que esse limite é igual a e^10m = e^-20 . Então, temos a equação:
10m = -20
Como as bases são as mesmas ( ), os expoentes devem ser iguais:

Passo 4

Agora, resolvemos para m = -2010 = -2 :

Resposta

O valor de é .

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