Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis à medida que (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Queremos ver o que acontece com
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Uma maneira comum de verificar se o limite existe é analisar a função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto (0,0). Se obtivermos limites diferentes por caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Vamos começar analisando dois caminhos simples:
e
.
Passo 4
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Então, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 5
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Então, ao longo do caminho
, o limite também é 0.
Passo 6
Até aqui, obtivemos o limite igual a 0 por dois caminhos diferentes. Mas para confirmar se o limite existe mesmo, precisamos verificar outros caminhos onde possamos obter um resultado diferente. Vamos tentar um caminho onde
depende de
, por exemplo,
, onde
é uma constante.
Passo 7
Caminho 3:
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Esse resultado depende do valor de
! Por exemplo:
-
Se
: -
Se
:
Passo 8
Como o limite depende de
, diferentes escolhas de
nos dão limites diferentes ao nos aproximarmos de (0,0) por caminhos distintos. Isso mostra que a função não se aproxima de um único valor quando
se aproxima de (0,0) de qualquer direção.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
.
a)
a)
Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de .
Calcule a superfície de nível de
Texto Descreva duas maneiras diferentes pelas quais podemos representar geometricamente uma função
. Discuta algumas vantagens e desvantagens de cada representação.
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples