Calcule os limites, caso existam:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis à medida que (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Queremos ver o que acontece com quando se aproxima de .

Passo 3

Uma maneira comum de verificar se o limite existe é analisar a função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto (0,0). Se obtivermos limites diferentes por caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Vamos começar analisando dois caminhos simples: e .

Passo 4

Caminho 1:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 5

Caminho 2:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao longo do caminho , o limite também é 0.

Passo 6

Até aqui, obtivemos o limite igual a 0 por dois caminhos diferentes. Mas para confirmar se o limite existe mesmo, precisamos verificar outros caminhos onde possamos obter um resultado diferente. Vamos tentar um caminho onde depende de , por exemplo, , onde é uma constante.

Passo 7

Caminho 3:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Esse resultado depende do valor de ! Por exemplo:
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Como o limite depende de , diferentes escolhas de nos dão limites diferentes ao nos aproximarmos de (0,0) por caminhos distintos. Isso mostra que a função não se aproxima de um único valor quando se aproxima de (0,0) de qualquer direção.

Resposta

O limite não existe.

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