Calcule os limites, caso existam: lim (x, y) (0,0) x^3-x yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis à medida que (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
f(x, y) = x^3 - x yx^2 + y^2
Queremos ver o que acontece com quando se aproxima de .

Passo 3

Uma maneira comum de verificar se o limite existe é analisar a função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto (0,0). Se obtivermos limites diferentes por caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Vamos começar analisando dois caminhos simples: e .

Passo 4

Caminho 1: f(x, 0) = x^3 - x cdot 0x^2 + 0^2 = x^3x^2 = x
Substituindo limx to 0 x = 0 na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 5

Caminho 2: f(0, y) = 0^3 - 0 cdot y0^2 + y^2 = 0y^2 = 0
Substituindo limy to 0 0 = 0 na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao longo do caminho , o limite também é 0.

Passo 6

Até aqui, obtivemos o limite igual a 0 por dois caminhos diferentes. Mas para confirmar se o limite existe mesmo, precisamos verificar outros caminhos onde possamos obter um resultado diferente. Vamos tentar um caminho onde depende de , por exemplo, , onde é uma constante.

Passo 7

Caminho 3: f(x, kx) = x^3 - x cdot kxx^2 + (kx)^2 = x^3 - kx^2x^2 + k^2x^2 = x^2(x - k)x^2(1 + k^2) = x - k1 + k^2
Substituindo limx to 0 x - k1 + k^2 = 0 - k1 + k^2 = -k1 + k^2 na função:
lim = -11 + 1 = -12
Agora, calculamos o limite quando lim = -21 + 4 = -25 se aproxima de 0:
Esse resultado depende do valor de ! Por exemplo:
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Como o limite depende de , diferentes escolhas de nos dão limites diferentes ao nos aproximarmos de (0,0) por caminhos distintos. Isso mostra que a função não se aproxima de um único valor quando se aproxima de (0,0) de qualquer direção.

Resposta

O limite não existe.

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