Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de
.
Calcule a superfície de nível de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever uma superfície de nível e calcular essa superfície para a função
. A matéria envolvida aqui é sobre superfícies de nível, que são essenciais para entender gráficos em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como representá-las matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Imagine que você tem uma função que depende de três variáveis:
,
e
. Uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos
onde a função assume um valor constante, digamos
. Ou seja, é onde
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Para encontrar a superfície de nível, a gente iguala essa função a uma constante
:
Passo 4
Agora, vamos interpretar essa equação. Ela representa os pontos
que satisfazem a condição acima. Note que a variável
não está presente na equação, o que significa que para qualquer valor de
, a equação ainda é válida. Isso indica que a superfície se estende indefinidamente ao longo do eixo
.
Passo 5
A equação
é a equação de um círculo no plano
com raio
. Como
pode variar livremente, a superfície formada é um cilindro circular com raio
e eixo ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície de nível de
é um cilindro circular infinito, com raio igual a
e eixo paralelo ao eixo
.
Exercícios relacionados
(Extra) As sequoias são árvores conhecidas pela longevidade e imponência, podendo viver mais de um século e ultrapassar os 100 m de altura. Suponhamos que podemos calcular a idade destas gigantes da natureza utilizando a seguinte equação:
A variável
representa o raio do tronco da árvore,
a altura do tronco e
representa a idade estimada da árvore em décadas. Suponha que o tronco da sequoia tem o formato aproximado de um cilindro.
Certo dia uma forte tempestade tombou uma jovem sequoia devido às fortes rajadas de vento. Os cuidadores do parque onde esta árvore estava desejam saber o quão velha esta árvore pode ser, em anos, sabendo que o volume de madeira presente em seu tronco é de aproximadamente .
Certo dia uma forte tempestade tombou uma jovem sequoia devido às fortes rajadas de vento. Os cuidadores do parque onde esta árvore estava desejam saber o quão velha esta árvore pode ser, em anos, sabendo que o volume de madeira presente em seu tronco é de aproximadamente
Qual o maior volume que um cilindro com
de área pode ter?
Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
.
a)
a)
Calcule os limites, caso existam: