Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever uma superfície de nível e calcular essa superfície para a função . A matéria envolvida aqui é sobre superfícies de nível, que são essenciais para entender gráficos em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como representá-las matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Imagine que você tem uma função que depende de três variáveis: , e . Uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos onde a função assume um valor constante, digamos . Ou seja, é onde .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Para encontrar a superfície de nível, a gente iguala essa função a uma constante :

Passo 4

Agora, vamos interpretar essa equação. Ela representa os pontos que satisfazem a condição acima. Note que a variável não está presente na equação, o que significa que para qualquer valor de , a equação ainda é válida. Isso indica que a superfície se estende indefinidamente ao longo do eixo .

Passo 5

A equação é a equação de um círculo no plano com raio . Como pode variar livremente, a superfície formada é um cilindro circular com raio e eixo ao longo do eixo .

Resposta

A superfície de nível de é um cilindro circular infinito, com raio igual a e eixo paralelo ao eixo .

Exercícios relacionados

(Extra) As sequoias são árvores conhecidas pela longevidade e imponência, podendo viver mais de um século e ultrapassar os 100 m de altura. Suponhamos que podemos calcular a idade destas gigantes da natureza utilizando a seguinte equação:
A variável representa o raio do tronco da árvore, a altura do tronco e representa a idade estimada da árvore em décadas. Suponha que o tronco da sequoia tem o formato aproximado de um cilindro.
Certo dia uma forte tempestade tombou uma jovem sequoia devido às fortes rajadas de vento. Os cuidadores do parque onde esta árvore estava desejam saber o quão velha esta árvore pode ser, em anos, sabendo que o volume de madeira presente em seu tronco é de aproximadamente .
Qual o maior volume que um cilindro com de área pode ter?
Para cada par de funções abaixo encontre o domínio e as expressões de , e .
a)
Calcule os limites, caso existam: