Calcule os limites, caso existam.
lim x -1 x^3+2 x^2-1x^4+x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e fatoração de polinômios. Precisaremos identificar se o limite é direto ou indeterminado e, se for o caso, fatorar para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1(-1)^4 + (-1)^2 - 2 = -1 + 2(1) - 11 + 1 - 2 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite de forma simples.
Conseguimos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Numerador:
x^3 + 2x^2 - 1
Tentamos encontrar raízes racionais possíveis, que são divisores do termo constante (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0 sobre os divisores do coeficiente líder x^3 + 2x^2 - 1 = (x + 1)(x^2 + x - 1) , ou seja, x^4 + x^2 - 2 .
Testando x^4 + x^2 - 2 = (x^2 + 2)(x^2 - 1) = (x^2 + 2)(x - 1)(x + 1) :
Como é raiz, podemos fatorar .
Fazendo a divisão, temos:
Denominador:
Vamos fatorar isso como um polinômio quadrático em :

Passo 4

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, vamos simplificar a expressão cancelando os fatores comuns.
(x + 1)(x^2 + x - 1)(x + 1)(x - 1)(x^2 + 2) = x^2 + x - 1(x - 1)(x^2 + 2)
Perceba que o fator aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo.

Passo 5

Agora, substituímos (-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 na expressão simplificada para calcular o limite.
Numerador:
(-1 - 1)((-1)^2 + 2) = (-2)(1 + 2) = (-2)(3) = -6
Denominador:
-1-6 = 16
Então, temos:

Resposta

O limite é .

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Calcule os limites, caso existam.
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