2,0 Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y) = { x/(x+y), se (x, y) ≠ (0,0) 0, se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes. Para qualquer ponto que não seja , a função é . Mas no ponto , a função vale 0, ou seja, . A gente precisa mostrar que essa função não é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável num ponto. Uma função de duas variáveis é diferenciável no ponto se ela pode ser aproximada por um plano linear perto desse ponto. Isso envolve existir derivadas parciais contínuas nesse ponto e o limite que define a diferenciabilidade deve existir.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em . Para a derivada parcial em relação a :
Esse limite não existe, pois tende ao infinito.

Passo 4

Como a derivada parcial não existe, isso já nos indica que a função não é diferenciável no ponto . Mas vamos confirmar olhando para o limite que define a diferenciabilidade.

Passo 5

Vamos avaliar o limite:
Onde seria o plano linear. Já que não existe, esse limite não pode ser zero, confirmando que a função não é diferenciável.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto porque uma das derivadas parciais, especificamente , não existe.

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Calcule os limites, caso existam.
lim x -1 x^3+2 x^2-1x^4+x^2-2
Calcule os seguintes limites: lim x -infty 2-raiz[3]x-1raiz1-x-1
Calcule os seguintes limites: lim x +infty 3-raizxraizx-2
Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=integralx^y g(t) d t,(g contínua )