Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é definida de duas formas diferentes. Para qualquer ponto
que não seja
, a função é
. Mas no ponto
, a função vale 0, ou seja,
. A gente precisa mostrar que essa função não é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável num ponto. Uma função de duas variáveis é diferenciável no ponto
se ela pode ser aproximada por um plano linear perto desse ponto. Isso envolve existir derivadas parciais contínuas nesse ponto e o limite que define a diferenciabilidade deve existir.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em
. Para a derivada parcial em relação a
:
Esse limite não existe, pois tende ao infinito.
Passo 4
Como a derivada parcial
não existe, isso já nos indica que a função não é diferenciável no ponto
. Mas vamos confirmar olhando para o limite que define a diferenciabilidade.
Passo 5
Vamos avaliar o limite:
Onde
seria o plano linear. Já que
não existe, esse limite não pode ser zero, confirmando que a função não é diferenciável.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
porque uma das derivadas parciais, especificamente
, não existe.
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Calcule os limites, caso existam.
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Nos itens abaixo, determine
.
contínua