Calcule os limites, caso existam.
lim x -1 raiz[3]x^2-1x^3+1

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Vamos usar conceitos de limites e fatoração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de .
  • Numerador: . Substituindo , temos .
  • Denominador: . Substituindo , temos .
Como ambos tendem a zero, temos uma forma indeterminada . Isso indica que podemos simplificar a expressão usando fatoração.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador.
  • Numerador: x^2 - 1x^3 + 1 = (x - 1)(x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como .
  • Denominador: é uma soma de cubos, que pode ser fatorada como .
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a expressão cancelando o termo comum (x - 1)cancel(x + 1)cancel(x + 1)(x^2 - x + 1) = x - 1x^2 - x + 1 no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora substituímos -1 - 1(-1)^2 - (-1) + 1 = -21 + 1 + 1 = -23 para calcular o limite:

Passo 6

Finalmente, aplicamos a raiz cúbica ao resultado obtido:
raiz[3]-23

Resposta

O limite é .

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