Calcule os seguintes limites: lim x -infty 2-raiz[3]x-1raiz1-x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções com raízes. O enunciado pede para calcular o limite quando tende a menos infinito da expressão . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente o comportamento de funções como raízes cúbicas e quadradas quando fica muito grande em valor negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando tende a .
No numerador, temos . Sabemos que cresce sem limites negativos quando tende a , então também tende a . Portanto, o numerador fica aproximadamente .
No denominador, temos . Reescrevendo como , quando tende a , tende a , então também tende a . Assim, o denominador fica aproximadamente .

Passo 3

Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 2 - raiz[3]x-1raiz1 - x - 1 = 2raiz[3]x - 1raiz1 - xraiz[3]x - 1raiz[3]x , temos uma forma indeterminada 0 - 1+infty - 0 = -1+infty = 0 . Para resolver isso, vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo termo dominante.
No numerador, o termo dominante é . Então, vamos dividir o numerador por :
Vamos analisar cada parte:
  • tende a 0 quando tende a , pois o denominador fica cada vez maior em valor absoluto.
  • pode ser reescrito como . Para simplificar, observe que cresce mais rápido que quando tende a . Portanto, essa expressão tende a .
  • tende a 0.
Então, a expressão simplificada fica:

Resposta

O limite é igual a .

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