Calcule os limites, caso existam.
lim x 1 x^4-4 x+3x^3-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o seguinte limite:
lim x 1 x^4-4 x+3x^3-1
Esse exercício está ligado ao conteúdo de Limites de Funções, uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na função. Isso ajuda a identificar se temos uma forma indeterminada, que é comum nesses cálculos.
Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0, temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio do numerador e do denominador para cancelar os termos que causaram a indeterminação.
Fatorando o denominador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) :
Esse é um caso clássico de diferença de cubos. A fórmula para fatorar x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) é:
x^4 - 4x + 3 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x - 3)
Aplicando e :
Fatorando o numerador :
Sabemos que é uma raiz, então é um fator. Vamos usar a divisão polinomial ou a regra de Ruffini para encontrar os outros fatores.
Dividindo por , encontramos:

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, a expressão do limite fica assim:
lim x 1 (x - 1)(x^3 + x^2 + x - 3)(x - 1)(x^2 + x + 1)
A gente percebe que lim x 1 x^3 + x^2 + x - 3x^2 + x + 1 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar cancelando esse fator:

Passo 5

Agora, substituímos 03 = 0 na expressão simplificada para encontrar o limite:
  • Numerador:
  • Denominador:
Portanto, o limite é:

Resposta

O limite é igual a 0.

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