Calcule os limites, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o seguinte limite:
Esse exercício está ligado ao conteúdo de Limites de Funções, uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e fatorar polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na função. Isso ajuda a identificar se temos uma forma indeterminada, que é comum nesses cálculos.
Substituindo
:
- Numerador:
- Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Agora, vamos fatorar o polinômio do numerador e do denominador para cancelar os termos que causaram a indeterminação.
Fatorando o denominador
:
Esse é um caso clássico de diferença de cubos. A fórmula para fatorar
é:
Aplicando
e
:
Fatorando o numerador
:
Sabemos que
é uma raiz, então
é um fator. Vamos usar a divisão polinomial ou a regra de Ruffini para encontrar os outros fatores.
Dividindo
por
, encontramos:
Passo 4
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, a expressão do limite fica assim:
A gente percebe que
está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar cancelando esse fator:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão simplificada para encontrar o limite:
- Numerador:
- Denominador:
Portanto, o limite é:
Resposta
O limite é igual a 0.
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