Calcule os limites, caso existam.
lim (x, y) (2,7) x^2-5 x+6y x-2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está na matéria de Cálculo de Limites para funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir os valores de 2^2 - 5 cdot 2 + 67 cdot 2 - 2 cdot 7 = 4 - 10 + 614 - 14 = 00 e diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar. Começando pelo numerador x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) :
y x - 2 y = y(x - 2)
Agora, o denominador (x - 2)(x - 3)y(x - 2) :
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Notamos que o termo (x - 3)y aparece no numerador e no denominador. Desde que , podemos cancelar esse termo:
Agora, a expressão está mais simples e não apresenta mais a forma indeterminada.

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo 2 - 37 = -17 e :
Portanto, o limite é .

Resposta

lim (x, y) (2,7) x^2-5 x+6y x-2 y = -17

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