Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função para os níveis e depois esboçar o gráfico da função. Isso envolve entender como essa função se comporta no plano xy para diferentes valores de k.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são as curvas onde a função assume um valor constante, ou seja, . Para cada valor de k, teremos uma curva diferente no plano.

Passo 3

Vamos começar substituindo cada valor de k na equação da função:
  1. Para :
    A única solução real para essa equação é e , então a curva é apenas o ponto (0,0).
  2. Para :
    Essa é a equação de uma elipse. Podemos reescrever como:
    Onde os semi-eixos são e .
  3. Para :
    Dividindo todos os termos por 4:
    Aqui, os semi-eixos são e .

Passo 4

Agora, vamos esboçar as curvas de nível:
  • Para : Apenas o ponto (0,0).
  • Para : Uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 1 e 0,5.
  • Para : Outra elipse centrada na origem, mas maior, com semi-eixos de comprimento 2 e 1.

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Esse gráfico é uma paraboloide elíptica, que se abre para cima. As curvas de nível que esboçamos representam cortes horizontais desse paraboloide em diferentes alturas (valores de k).

Resposta

As curvas de nível da função para são:
  • Para : o ponto (0,0).
  • Para : uma elipse centrada na origem com semi-eixos de 1 e 0,5.
  • Para : uma elipse maior centrada na origem com semi-eixos de 2 e 1.
O gráfico da função é um paraboloide elíptica que se abre para cima, com as elipses de nível ilustrando seções transversais do paraboloide em diferentes alturas.

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Calcule os limites, caso existam.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Seja . Qual o valor aproximado para a variação da função quando passa de 2 para e para ?