Esboce as curvas de nível das funções a seguir, de acordo com os níveis indicados. Em seguida, esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função
para os níveis
e depois esboçar o gráfico da função. Isso envolve entender como essa função se comporta no plano xy para diferentes valores de k.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são as curvas onde a função assume um valor constante, ou seja,
. Para cada valor de k, teremos uma curva diferente no plano.
Passo 3
Vamos começar substituindo cada valor de k na equação da função:
-
Para
: A única solução real para essa equação ée , então a curva é apenas o ponto (0,0). -
Para
: Essa é a equação de uma elipse. Podemos reescrever como:Onde os semi-eixos sãoe . -
Para
: Dividindo todos os termos por 4:Aqui, os semi-eixos sãoe .
Passo 4
Agora, vamos esboçar as curvas de nível:
- Para
: Apenas o ponto (0,0). - Para
: Uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 1 e 0,5. - Para
: Outra elipse centrada na origem, mas maior, com semi-eixos de comprimento 2 e 1.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Esse gráfico é uma paraboloide elíptica, que se abre para cima. As curvas de nível que esboçamos representam cortes horizontais desse paraboloide em diferentes alturas (valores de k).
Resposta
As curvas de nível da função
para
são:
- Para
: o ponto (0,0). - Para
: uma elipse centrada na origem com semi-eixos de 1 e 0,5. - Para
: uma elipse maior centrada na origem com semi-eixos de 2 e 1.
O gráfico da função é um paraboloide elíptica que se abre para cima, com as elipses de nível ilustrando seções transversais do paraboloide em diferentes alturas.
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A pressão em
(em kilopascals), volume
(em litros) e temperatura
(em kelvins) de um mol de um gás ideal relacionam-se pela equação
. Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é 300 K e está aumentando com a taxa de
e o volume é 100 L e está aumentando com a taxa de
.
Calcule os limites, caso existam.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Seja
. Qual o valor aproximado para a variação da função
quando
passa de
2 para
e
para
?