Calcule os limites.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite do vetor
quando
vai para o infinito. Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente limites de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente do vetor individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
, que é a função arco-tangente de
. Sabemos que à medida que
cresce sem limite, a tangente se aproxima de
. Portanto:
Então, o primeiro componente do nosso vetor limite é
.
Passo 3
Agora, vamos para
. Essa é uma função exponencial com um expoente negativo que cresce sem limite à medida que
aumenta. Funções exponenciais com expoente negativo tendem a zero quando
vai para o infinito. Matemáticamente:
Assim, o segundo componente do vetor limite é
.
Passo 4
Por último, temos
. Aqui, a função logarítmica
cresce, mas muito mais devagar comparada a
no denominador. Quando
cresce sem limite, o denominador domina, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero:
Então, o terceiro componente do nosso vetor limite também é
.
Resposta
O limite do vetor é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites.
(a)
(a)
Determine a derivada da função vetorial.
(a)
(a)
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(a)
(a)
Determine o comprimento da curva dada.
(a)
(a)