Calcule os limites.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite do vetor quando vai para o infinito. Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente limites de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente do vetor individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para , que é a função arco-tangente de . Sabemos que à medida que cresce sem limite, a tangente se aproxima de . Portanto:
Então, o primeiro componente do nosso vetor limite é .

Passo 3

Agora, vamos para . Essa é uma função exponencial com um expoente negativo que cresce sem limite à medida que aumenta. Funções exponenciais com expoente negativo tendem a zero quando vai para o infinito. Matemáticamente:
Assim, o segundo componente do vetor limite é .

Passo 4

Por último, temos . Aqui, a função logarítmica cresce, mas muito mais devagar comparada a no denominador. Quando cresce sem limite, o denominador domina, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero:
Então, o terceiro componente do nosso vetor limite também é .

Resposta

O limite do vetor é .

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Calcule os limites.
(a)
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(a)