Calcule os limites.
(a) lim t 0^+lang<=cos t, sen t, t ln trang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite quando se aproxima de zero pela direita da função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que basicamente envolvem calcular o limite de cada componente da função separadamente. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a componente limt 0^+ cos t = cos 0 = 1 . Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que o limite dela quando se aproxima de zero é simplesmente o valor da função nesse ponto.
Então, a primeira componente do nosso limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos para a componente . Assim como o cosseno, a função seno também é contínua em todos os pontos. Assim, o limite de quando limt 0^+ sen t = sen 0 = 0 se aproxima de zero é o valor da função nesse ponto.
Portanto, a segunda componente do limite é 0.

Passo 4

Por fim, temos a terceira componente t ln t = ln t1/t . Essa parte é um pouco mais interessante porque envolve uma função logarítmica multiplicada por limt 0^+ ln t1/t = limt 0^+ 1t-1t^2 = limt 0^+ -t = 0 . Para resolver isso, vamos lembrar que quando se aproxima de zero pela direita, tende a . Porém, como estamos multiplicando isso por , que tende a zero, temos uma forma indeterminada do tipo .
Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites de indeterminação :
Então, a terceira componente também é 0.

Resposta

Exercícios relacionados