Calcule os limites.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite quando se aproxima de zero pela direita da função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que basicamente envolvem calcular o limite de cada componente da função separadamente. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a componente . Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que o limite dela quando se aproxima de zero é simplesmente o valor da função nesse ponto.
Então, a primeira componente do nosso limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos para a componente . Assim como o cosseno, a função seno também é contínua em todos os pontos. Assim, o limite de quando se aproxima de zero é o valor da função nesse ponto.
Portanto, a segunda componente do limite é 0.

Passo 4

Por fim, temos a terceira componente . Essa parte é um pouco mais interessante porque envolve uma função logarítmica multiplicada por . Para resolver isso, vamos lembrar que quando se aproxima de zero pela direita, tende a . Porém, como estamos multiplicando isso por , que tende a zero, temos uma forma indeterminada do tipo .
Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites de indeterminação :
Então, a terceira componente também é 0.

Resposta

Exercícios relacionados

Determine a derivada da função vetorial.
(a)
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Calcule os limites.
(d)
Determine os vetores tangente e normal unitários e e encontre a curvatura.
(a)