Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar os vetores tangente unitário
, normal unitário
e a curvatura da curva dada pela função vetorial . Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, normalização de vetores e a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
. Isso nos ajudará a encontrar o vetor tangente.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude do vetor velocidade, que é a norma de
:
Simplificando usando a identidade :
Passo 4
Com a magnitude do vetor velocidade, podemos encontrar o vetor tangente unitário
dividindo
pela sua magnitude:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal unitário
, precisamos primeiro encontrar a derivada de
em relação a
,
:
Passo 6
Agora, calculamos a magnitude de
:
Passo 7
Com a magnitude de
, podemos encontrar o vetor normal unitário
:
Passo 8
Por fim, a curvatura
é dada por:
Resposta
O vetor tangente unitário é:
O vetor normal unitário é:
A curvatura da curva é:
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(d)
(d)
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(a)
Determine o comprimento da curva dada.
(a)
(a)
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(b)
(b)