Determine os vetores tangente e normal unitários e e encontre a curvatura.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar os vetores tangente unitário , normal unitário e a curvatura da curva dada pela função vetorial . Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, normalização de vetores e a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade . Isso nos ajudará a encontrar o vetor tangente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor velocidade, que é a norma de :
Simplificando usando a identidade :

Passo 4

Com a magnitude do vetor velocidade, podemos encontrar o vetor tangente unitário dividindo pela sua magnitude:

Passo 5

Para encontrar o vetor normal unitário , precisamos primeiro encontrar a derivada de em relação a , :

Passo 6

Agora, calculamos a magnitude de :

Passo 7

Com a magnitude de , podemos encontrar o vetor normal unitário :

Passo 8

Por fim, a curvatura é dada por:

Resposta

O vetor tangente unitário é:
O vetor normal unitário é:
A curvatura da curva é:

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(d)
Calcule os limites.
(a)
Determine o comprimento da curva dada.
(a)
Determine os vetores tangente e normal unitários e e encontre a curvatura.
(b)