Calcule os limites
(d) lim x +infty x^e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x +infty x^e^-x. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências e as exponenciais se comportam quando x cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo. Sabemos que x^e^-x pode ser escrita usando logaritmos naturais. Então, vamos tomar o logaritmo de ambos os lados:
ln(x^e^-x) = e^-x cdot ln(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o limite de e^-x cdot ln(x) quando x tende a mais infinito. Ou seja:
lim x +infty e^-x cdot ln(x)

Passo 4

Observamos que e^-x tende a 0 muito mais rapidamente do que ln(x) tende a infinito. Isso significa que o produto dessas duas funções vai se comportar como 0 vezes infinito, mas devido à rapidez de e^-x decrescendo, o limite será 0.

Passo 5

Então, voltando à nossa expressão original, já que o limite do logaritmo é 0, podemos concluir que:
lim x +infty x^e^-x = e^0 = 1

Resposta

O limite lim x +infty x^e^-x é igual a 1.

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