Determine os seguintes limites: lim x -infty raizx^2+3 xraizx^2-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Aqui estamos lidando com limites no infinito envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento dos termos , e afeta o limite quando tende a .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões dentro das raízes. Quando raizx^2 + 3x = raizx^2(1 + 3x) = |x|raiz1 + 3x tende a raizx^2 - x = raizx^2(1 - 1x) = |x|raiz1 - 1x , é muito maior que ou . Então, podemos fatorar de dentro das raízes para facilitar a simplificação.
Para o numerador:
Como está tendendo a , .
Para o denominador:
Novamente, porque .

Passo 3

Agora, substituímos essas simplificações na expressão original:
raizx^2 + 3xraizx^2 - x = -x raiz1 + 3x-x raiz1 - 1x = raiz1 + 3xraiz1 - 1x
Os no numerador e denominador se cancelam.

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando raiz1 + 3x raiz1 + 0 = 1 . Os termos raiz1 - 1x raiz1 - 0 = 1 e vão a zero, pois o denominador cresce sem limite. Portanto:

Passo 5

Substituindo esses valores no limite:
raiz1 + 3xraiz1 - 1x 11 = 1

Resposta

lim x -infty raizx^2+3 xraizx^2-x = 1

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