Determine os seguintes limites: lim x 1 2 x+3 & se x<1 x^2+2 & se x>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou para encontrar o limite de uma função definida por partes quando se aproxima de 1. Isso envolve entender como a função se comporta à esquerda e à direita desse ponto. Vamos precisar usar conceitos de limites laterais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função quando f(x) = 2x + 3 se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, quando . Nesse caso, a função é dada por:
O que precisamos fazer aqui é calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda.

Passo 3

Então, vamos calcular esse limite:
limx to 1^- (2x + 3)
Substituímos 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 por 1 na expressão:
Portanto, o limite pela esquerda é 5.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando f(x) = x^2 + 2 se aproxima de 1 pela direita, ou seja, quando . Nesse caso, a função é:
Vamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de 1 pela direita.

Passo 5

Calculando o limite:
limx to 1^+ (x^2 + 2)
Substituímos (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3 por 1:
Então, o limite pela direita é 3.

Passo 6

Agora que temos os limites pelas duas direções:
  • Limite pela esquerda: 5
  • Limite pela direita: 3
Para que o limite geral exista, esses dois valores precisam ser iguais. Neste caso, eles são diferentes.

Resposta

O limite não existe, porque os limites à esquerda e à direita são diferentes.

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