Calcule os limites
(e) lim x 0^+(1x)^tg(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0^+(1x)^tan(x). Esse problema envolve cálculo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões do tipo a^b quando tanto a quanto b estão se comportando de maneira especial conforme x se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. Sabemos que a^b = e^b cdot ln(a). Aplicando isso à nossa expressão:
(1x)^tan(x) = e^tan(x) cdot ln(1x)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite do expoente:
limx to 0^+ tan(x) cdot ln(1x)
Sabemos que tan(x) approx x para valores pequenos de x, e ln(1x) = -ln(x). Então, a expressão fica aproximadamente:
x cdot (-ln(x)) = -x ln(x)

Passo 4

Vamos calcular o limite de -x ln(x) quando x tende a 0^+. Sabemos que ln(x) tende a -infty quando x to 0^+, mas multiplicado por x, que tende a 0. Para resolver, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limx to 0^+ -x ln(x) = limx to 0^+ -ln(x)1x = limx to 0^+ -x ln(x) = 0

Resposta

Portanto, o limite é e^0 = 1.

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