Calcule os limites. (d) lim x 1 raiz[3]3 x+5-2x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse tipo de problema envolve o cálculo de limites usando álgebra e propriedades de funções. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com radicais e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, substituímos raiz[3]3(1)+5-21^2-1 = raiz[3]8-20 = 2-20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador 3x + 5 = 8 + 3(x - 1) . Sabemos que , então podemos reescrever em termos de :
Isso nos ajuda a relacionar a expressão com , que aparece no denominador após fatorar.

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
limx 1 raiz[3]3x + 5 - 2(x - 1)(x + 1)
Então, nosso limite fica:

Passo 5

Para simplificar a expressão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz[3]3x + 5 - 2(x - 1)(x + 1) times raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4 é . Isso ajuda a eliminar o radical no numerador:

Passo 6

Após multiplicar, o numerador se torna:
(raiz[3]3x + 5 - 2)(raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4) = (3x + 5) - 8 = 3x - 3 = 3(x - 1)
Então, a expressão do limite fica:
limx 1 3(x - 1)(x - 1)(x + 1)(raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4)

Passo 7

Podemos cancelar o termo limx 1 3(x + 1)(raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4) no numerador e denominador:

Passo 8

Agora, substituímos 3(1 + 1)(raiz[3]8^2 + 2raiz[3]8 + 4) = 32(4 + 4 + 4) = 32 times 12 = 324 = 18 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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