Calcule os limites. (d)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse tipo de problema envolve o cálculo de limites usando álgebra e propriedades de funções. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com radicais e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, substituímos diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador . Sabemos que , então podemos reescrever em termos de :
Isso nos ajuda a relacionar a expressão com , que aparece no denominador após fatorar.

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, nosso limite fica:

Passo 5

Para simplificar a expressão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é . Isso ajuda a eliminar o radical no numerador:

Passo 6

Após multiplicar, o numerador se torna:
Então, a expressão do limite fica:

Passo 7

Podemos cancelar o termo no numerador e denominador:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
©
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
b) rotação em torno do eixo ;
Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
©
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
c) rotação em torno da reta .