Calcule os limites. (d)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Esse tipo de problema envolve o cálculo de limites usando álgebra e propriedades de funções. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com radicais e fatorar polinômios.
Passo 2
Primeiro, substituímos
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada
, então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador
. Sabemos que
, então podemos reescrever
em termos de
:
Isso nos ajuda a relacionar a expressão com
, que aparece no denominador após fatorar.
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, nosso limite fica:
Passo 5
Para simplificar a expressão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Isso ajuda a eliminar o radical no numerador:
Passo 6
Após multiplicar, o numerador se torna:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 7
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
©
©
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola
e pela reta
, nos seguintes casos:
b) rotação em torno do eixo ;
b) rotação em torno do eixo
Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
©
©
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola
e pela reta
, nos seguintes casos:
c) rotação em torno da reta .
c) rotação em torno da reta