Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola
e pela reta
, nos seguintes casos:
c) rotação em torno da reta
.
c) rotação em torno da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a área limitada pela parábola
e pela reta
gira em torno da reta
. Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos cilindros. Quando a gente gira uma área em torno de uma linha, pode imaginar que essa área é dividida em várias fatias cilíndricas fininhas. Cada cilindro tem um raio, uma altura e uma espessura. A gente calcula o volume de cada cilindro e soma todos esses volumes integrando.
Passo 3
Vamos reescrever a equação da parábola para expressar
em função de
:
Isso nos ajuda a identificar os limites de integração e a distância das fatias ao eixo de rotação.
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de
. Quando
:
Então, vamos integrar de
até
.
Passo 5
O próximo passo é determinar o raio de cada cilindro. Como estamos girando em torno da reta
, o raio é a distância entre
e
:
A altura de cada cilindro é determinada pela variação infinitesimal
.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume usando o método dos cilindros:
Aqui,
vem da circunferência do cilindro.
Passo 7
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo
), podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de
a
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
©
©
Calcule os limites. (d)
Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d)
(d)
Faça um esboço e calcule a área da região de intersecção das funções
e
. ( ) SIM () NÃO