Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
c) rotação em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a área limitada pela parábola e pela reta gira em torno da reta . Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos cilindros. Quando a gente gira uma área em torno de uma linha, pode imaginar que essa área é dividida em várias fatias cilíndricas fininhas. Cada cilindro tem um raio, uma altura e uma espessura. A gente calcula o volume de cada cilindro e soma todos esses volumes integrando.

Passo 3

Vamos reescrever a equação da parábola para expressar em função de :
Isso nos ajuda a identificar os limites de integração e a distância das fatias ao eixo de rotação.

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de . Quando :
Então, vamos integrar de até .

Passo 5

O próximo passo é determinar o raio de cada cilindro. Como estamos girando em torno da reta , o raio é a distância entre e :
A altura de cada cilindro é determinada pela variação infinitesimal .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume usando o método dos cilindros:
Aqui, vem da circunferência do cilindro.

Passo 7

Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de a :

Passo 8

Vamos calcular a integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
©
Calcule os limites. (d)
Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d)
Faça um esboço e calcule a área da região de intersecção das funções e . ( ) SIM () NÃO