Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
© integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral1^1+raiz1-x^2-y^2 x d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer uma mudança de variável para calcular a integral tripla:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral1^1+raiz1-x^2-y^2 x , dz , dy , dx
Esse tipo de integral envolve coordenadas cartesianas (x, y, z), mas às vezes é mais fácil resolver mudando para coordenadas cilíndricas ou esféricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas aqui porque a região de integração tem simetria circular em relação ao eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto no espaço é descrita por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto ao eixo z.
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x.
  • z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
x = r costheta y = r sintheta z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 3

Agora, vamos expressar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
Olha que nas integrais originais:
  • x varia de -1 a 1.
  • Para cada x, y varia de -raiz1-x^2 a raiz1-x^2.
  • E para cada (x, y), z varia de 1 a 1+raiz1-x^2-y^2.
Em coordenadas cilíndricas:
  • r vai de 0 a 1 (já que x^2 + y^2 <= 1).
  • theta vai de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • z vai de 1 a 1 + raiz1 - r^2.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas usando as relações que vimos:
Originalmente, temos x , dz , dy , dx. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
x , dz , dy , dx = (r costheta) cdot r , dz , dr , dtheta = r^2 costheta , dz , dr , dtheta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 integral1^1+raiz1-r^2 r^2 costheta , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a z:
integral1^1+raiz1-r^2 dz = [ z ]1^1+raiz1-r^2 = raiz1 - r^2
Então, nossa integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^2 costheta cdot raiz1 - r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos observar a parte que envolve theta. Note que:
integral0^2pi costheta , dtheta
Essa integral é conhecida e igual a zero porque costheta é uma função ímpar e sua integral sobre um ciclo completo de 0 a 2pi anula-se.

Passo 7

Como a integral em theta é zero, todo o produto da integral tripla também será zero, independente do valor da integral em r.

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
0

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