Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer uma mudança de variável para calcular a integral tripla:
Esse tipo de integral envolve coordenadas cartesianas (x, y, z), mas às vezes é mais fácil resolver mudando para coordenadas cilíndricas ou esféricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas aqui porque a região de integração tem simetria circular em relação ao eixo z.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto no espaço é descrita por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo z. -
é o ângulo em relação ao eixo x. -
é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos expressar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
Olha que nas integrais originais:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - E para cada
, varia de a .
Em coordenadas cilíndricas:
-
vai de a (já que ). -
vai de a para cobrir todo o círculo. -
vai de a .
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas usando as relações que vimos:
Originalmente, temos
. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, nossa integral fica:
Passo 6
Agora, vamos observar a parte que envolve
. Note que:
Essa integral é conhecida e igual a zero porque
é uma função ímpar e sua integral sobre um ciclo completo de
a
anula-se.
Passo 7
Como a integral em
é zero, todo o produto da integral tripla também será zero, independente do valor da integral em
.
Resposta
Portanto, o valor da integral é: