Considere o sólido limitado por x+y+z=3, x+y-z=3 e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
© integral(integral(integral d y) d x) d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies dadas pelas equações e , além dos planos coordenados (ou seja, os planos , e ). A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais triplas para encontrar volumes. Precisamos determinar os limites de integração para , e nessa ordem específica e montar a integral tripla .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações das superfícies que delimitam o sólido. Temos duas superfícies:
Vamos resolver essas equações para para facilitar a análise:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
Essas duas superfícies se interceptam, e precisamos descobrir onde isso acontece para determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção das duas superfícies:
3 - x - y = x + y - 3
Resolvendo a equação:
3 - x - y = x + y - 3 3 + 3 = x + y + x + y 6 = 2x + 2y 3 = x + y
Então, a interseção acontece no plano . Agora, precisamos encontrar os limites de integração para , e nessa ordem.
Para :
  • O plano coordenado que limita é .
  • E, da interseção, quando , então vai de até .
Para :
  • Similarmente, começa em (plano coordenado) e vai até , já que quando , .
Para :
  • Olhando para as equações de , vai de (plano coordenado) até (segunda superfície).

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla com os limites que encontramos:
Volume = integralz=0^z=x+y-3 ( integralx=0^x=3 ( integraly=0^y=3-x dy ) dx ) dz
Mas percebemos que Volume = integralz=0^z=x+y-3 ( integralx=0^x=3 ( integraly=3-x^y=3 dy ) dx ) dz precisa ser positivo para termos um volume válido, então na verdade devemos ajustar os limites para garantir que integraly=3-x^y=3 dy = y |3-x^3 = 3 - (3 - x) = x . Isso implica que Volume = integralz=0^z=x+y-3 ( integralx=0^x=3 x , dx ) dz .
Portanto, os limites corretos ficam:
  • Para integralx=0^x=3 x , dx = 12x^2 |0^3 = 12(9) - 0 = 92 : de Volume = integralz=0^z=x+y-3 92 , dz = 92z |0^x+y-3 = 92(x + y - 3) - 0 = 92(x + y - 3) a Volume = 92(3 - 3) = 0
  • Para Volume = integralx=0^x=3 integraly=0^y=3-x integralz=0^z=3 - x - y dz , dy , dx : de integralz=0^z=3 - x - y dz = 3 - x - y a integraly=0^y=3 - x (3 - x - y) , dy = (3 - x)y - 12y^2 |0^3 - x = (3 - x)(3 - x) - 12(3 - x)^2 = 12(3 - x)^2
  • Para integralx=0^x=3 12(3 - x)^2 , dx = 12 cdot (3 - x)^33 |0^3 = 16[(0)^3 - (3)^3] = 16(0 - 27) = -276 = -4,5 : de Volume = 4,5 , unidades cúbicas a
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:
Finalmente, substituindo , vemos que o volume é:
Mas isso não faz sentido fisicamente, então precisamos revisar os limites de integração para garantir que estamos cobrindo corretamente o volume.
Na verdade, a abordagem correta é considerar que o sólido está acima do plano coordenado e abaixo das superfícies dadas. Então, reorganizando os limites:
Agora, calculando passo a passo:
Integração em :
Integrando em :
Integrando finalmente em :
Como o volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
ú

Resposta

O volume do sólido é de unidades cúbicas.

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