Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies dadas pelas equações e , além dos planos coordenados (ou seja, os planos , e ). A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais triplas para encontrar volumes. Precisamos determinar os limites de integração para , e nessa ordem específica e montar a integral tripla .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações das superfícies que delimitam o sólido. Temos duas superfícies:
Vamos resolver essas equações para para facilitar a análise:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Essas duas superfícies se interceptam, e precisamos descobrir onde isso acontece para determinar os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção das duas superfícies:
Resolvendo a equação:
Então, a interseção acontece no plano . Agora, precisamos encontrar os limites de integração para , e nessa ordem.
Para :
O plano coordenado que limita é .
E, da interseção, quando , então vai de até .
Para :
Similarmente, começa em (plano coordenado) e vai até , já que quando , .
Para :
Olhando para as equações de , vai de (plano coordenado) até (segunda superfície).
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla com os limites que encontramos:
Mas percebemos que precisa ser positivo para termos um volume válido, então na verdade devemos ajustar os limites para garantir que . Isso implica que .
Portanto, os limites corretos ficam:
Para : de a
Para : de a
Para : de a
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:
Finalmente, substituindo , vemos que o volume é:
Mas isso não faz sentido fisicamente, então precisamos revisar os limites de integração para garantir que estamos cobrindo corretamente o volume.
Na verdade, a abordagem correta é considerar que o sólido está acima do plano coordenado e abaixo das superfícies dadas. Então, reorganizando os limites:
Agora, calculando passo a passo:
Integração em :
Integrando em :
Integrando finalmente em :
Como o volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto: