Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
b) rotação em torno do eixo ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma área limitada pela parábola e pela reta . Queremos descobrir o volume do sólido que essa área gera quando a giramos ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou arandelas, que é super útil em problemas de volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que estamos trabalhando. A parábola pode ser reescrita como . Isso nos dá uma relação direta entre e . A reta é uma linha vertical que corta a parábola.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta para determinar os limites de integração. Igualando a :
Então, nossos limites de vão de a .
Passo 4
Como estamos girando em torno do eixo , usamos o método das arandelas. A fórmula para o volume é:
Onde:
é o raio externo,
é o raio interno,
e são os limites de integração.
Passo 5
Identificando e no nosso caso:
O raio externo é a distância da linha até o eixo , que é 2.
O raio interno é a distância da parábola até o eixo , que é .
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 7
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos simplificar a integração de a para o dobro da integração de a :