Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
b) rotação em torno do eixo ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma área limitada pela parábola e pela reta . Queremos descobrir o volume do sólido que essa área gera quando a giramos ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou arandelas, que é super útil em problemas de volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que estamos trabalhando. A parábola pode ser reescrita como . Isso nos dá uma relação direta entre e . A reta é uma linha vertical que corta a parábola.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta para determinar os limites de integração. Igualando a :
Então, nossos limites de vão de a .

Passo 4

Como estamos girando em torno do eixo , usamos o método das arandelas. A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é o raio externo,
  • é o raio interno,
  • e são os limites de integração.

Passo 5

Identificando e no nosso caso:
  • O raio externo é a distância da linha até o eixo , que é 2.
  • O raio interno é a distância da parábola até o eixo , que é .

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 7

Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos simplificar a integração de a para o dobro da integração de a :

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Substituindo e :

Passo 9

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
a) rotação em torno do eixo ;
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
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Calcule os limites. (d)