Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta. Consideramos a e b constantes reais näo nulas.
lim x 0 cot (a x)cot (b x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites e funções trigonométricas, especificamente a cotangente. Para resolver, vamos precisar reescrever as cotangentes em termos de seno e cosseno e usar conhecimentos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a cotangente de um ângulo é igual ao cosseno dividido pelo seno desse ângulo. Então, podemos reescrever cot(a x) = cos(a x)sin(a x) e cot(b x) = cos(b x)sin(b x) e lim x 0 cos(a x)sin(a x)cos(b x)sin(b x) da seguinte maneira:
Assim, o limite fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão dividindo as frações:
cos(a x)sin(a x)cos(b x)sin(b x) = cos(a x)sin(a x) times sin(b x)cos(b x) = cos(a x) cdot sin(b x)sin(a x) cdot cos(b x)

Passo 4

Para resolver o limite quando cos(a x) approx 1 e cos(b x) approx 1 se aproxima de 0, vamos lembrar que sin(a x) approx a x e sin(b x) approx b x e 1 cdot b xa x cdot 1 = b xa x = ba quando é próximo de 0. Aplicando isso:
Substituindo na expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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