Sabendo que para
satisfaz
, calcule
. Nos exercícios 18 a 29 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de
quando
vai para mais infinito, ou seja,
. Sabemos que para todo
, a função
está limitada entre
e
, multiplicados por
. Vamos usar conceitos de limites e desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na desigualdade dada. A desigualdade é:
Para isolar
, dividimos todos os lados da desigualdade por
(que é positivo para
):
Passo 3
Agora, vamos simplificar as frações para facilitar o cálculo do limite. Vamos começar com a parte esquerda:
Dividindo o numerador e o denominador por
, temos:
Quando
, os termos
e
tendem a zero, então o limite dessa fração é:
Passo 4
Fazendo o mesmo para a parte direita da desigualdade:
Dividindo por
, temos:
Assim, quando
, os termos
e
também tendem a zero, e o limite dessa fração é:
Passo 5
Agora, usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze), que nos diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Como vimos que tanto o limite da parte esquerda quanto o da parte direita da desigualdade são iguais a 1, conclui-se que: