Sabendo que para x>1, f(x) satisfaz (x-1)^2<(x^2-1) cdot f(x)<(x+1)^2, calcule lim x +infty f(x). Nos exercícios 18 a 29 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de f(x) quando x vai para mais infinito, ou seja, limx to +infty f(x). Sabemos que para todo x > 1, a função f(x) está limitada entre (x - 1)^2 e (x + 1)^2, multiplicados por (x^2 - 1). Vamos usar conceitos de limites e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar f(x) na desigualdade dada. A desigualdade é:
(x - 1)^2 < (x^2 - 1) cdot f(x) < (x + 1)^2
Para isolar f(x), dividimos todos os lados da desigualdade por (x^2 - 1) (que é positivo para x > 1):
(x - 1)^2x^2 - 1 < f(x) < (x + 1)^2x^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos simplificar as frações para facilitar o cálculo do limite. Vamos começar com a parte esquerda:
(x - 1)^2x^2 - 1 = x^2 - 2x + 1x^2 - 1
Dividindo o numerador e o denominador por x^2, temos:
1 - 2x + 1x^21 - 1x^2
Quando x to +infty, os termos 2x e 1x^2 tendem a zero, então o limite dessa fração é:
limx to +infty 1 - 2x + 1x^21 - 1x^2 = 1 - 0 + 01 - 0 = 1

Passo 4

Fazendo o mesmo para a parte direita da desigualdade:
(x + 1)^2x^2 - 1 = x^2 + 2x + 1x^2 - 1
Dividindo por x^2, temos:
1 + 2x + 1x^21 - 1x^2
Assim, quando x to +infty, os termos 2x e 1x^2 também tendem a zero, e o limite dessa fração é:
limx to +infty 1 + 2x + 1x^21 - 1x^2 = 1 + 0 + 01 - 0 = 1

Passo 5

Agora, usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze), que nos diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Como vimos que tanto o limite da parte esquerda quanto o da parte direita da desigualdade são iguais a 1, conclui-se que:
limx to +infty f(x) = 1

Resposta

limx to +infty f(x) = 1

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