Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos encontrar o limite de
que se aproxima de 0 para a expressão
. Vamos usar conhecimentos sobre limites, comportamento das funções trigonométricas e propriedades de limites para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando
se aproxima de 0.
-
Numerador:
- À medida que
se aproxima de 0, tende a ou dependendo do lado por onde se aproxima. - A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de entrada. Portanto,
continuará oscilando entre -1 e 1 mesmo quando cresce sem limite.
- À medida que
-
Denominador:
- Quando
se aproxima de 0, se aproxima de 0, fazendo com que cresça sem limite, ou seja, tende a .
- Quando
Passo 3
Agora, vamos considerar a fração completa
. Sabemos que:
- O numerador está limitado entre -1 e 1.
- O denominador tende a
.
Quando temos uma função que está limitada (no caso, o cosseno) dividida por uma função que tende ao infinito, o valor total tende a 0. Isso acontece porque o numerador não cresce, enquanto o denominador cresce sem limite, fazendo com que a fração se aproxime cada vez mais de 0.
Passo 4
Para formalizar isso, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), que afirma que se uma função está sempre entre duas outras que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.
No nosso caso:
Dividindo todos os termos por
:
Como
tende a
, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a zero.
Exercícios relacionados
Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta. Consideramos a e
constantes reais näo nulas.
.
Escreva como uma unica fração e fatore ao máximo o numerador e o denominador, mas não simplifique o resultado.
Resolva as inequações, escreva as soluções como intervalo ou união de intervalos e represente-as na na reta numérica: