Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos encontrar o limite de que se aproxima de 0 para a expressão . Vamos usar conhecimentos sobre limites, comportamento das funções trigonométricas e propriedades de limites para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando se aproxima de 0.
  • Numerador:
    • À medida que se aproxima de 0, tende a ou dependendo do lado por onde se aproxima.
    • A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de entrada. Portanto, continuará oscilando entre -1 e 1 mesmo quando cresce sem limite.
  • Denominador:
    • Quando se aproxima de 0, se aproxima de 0, fazendo com que cresça sem limite, ou seja, tende a .

Passo 3

Agora, vamos considerar a fração completa . Sabemos que:
  • O numerador está limitado entre -1 e 1.
  • O denominador tende a .
Quando temos uma função que está limitada (no caso, o cosseno) dividida por uma função que tende ao infinito, o valor total tende a 0. Isso acontece porque o numerador não cresce, enquanto o denominador cresce sem limite, fazendo com que a fração se aproxime cada vez mais de 0.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), que afirma que se uma função está sempre entre duas outras que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.
No nosso caso:
Dividindo todos os termos por :
Como tende a , concluímos que:

Resposta

O limite é igual a zero.

Exercícios relacionados

Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta. Consideramos a e constantes reais näo nulas.
.
Escreva como uma unica fração e fatore ao máximo o numerador e o denominador, mas não simplifique o resultado.
Resolva as inequações, escreva as soluções como intervalo ou união de intervalos e represente-as na na reta numérica: