Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a indeterminação que surge quando substituímos
.
Passo 2
Primeiro, substituímos
diretamente na expressão para verificar se o limite pode ser calculado facilmente:
Encontramos a forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para eliminar a indeterminação, vamos racionalizar o denominador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de
é
:
Passo 4
Multiplicando os termos, obtemos:
No numerador:
No denominador, aplicamos a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Simplificamos o denominador:
Agora, a expressão é:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais cancelando um fator
no numerador e denominador:
Passo 7
Agora, observamos que quando
se aproxima de 1, a expressão ainda pode ser simplificada substituindo
:
Substituindo
na expressão simplificada:
No entanto,
sugere que o limite tende para
.
Resposta
O limite
é igual a
.
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