Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
lim x 1 x-1raiz2 x-x^2-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a indeterminação que surge quando substituímos .

Passo 2

Primeiro, substituímos 1 - 1raiz2 cdot 1 - 1^2 - 1 = 0raiz2 - 1 - 1 = 01 - 1 = 00 diretamente na expressão para verificar se o limite pode ser calculado facilmente:
Encontramos a forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, vamos racionalizar o denominador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de x - 1raiz2x - x^2 - 1 times raiz2x - x^2 + 1raiz2x - x^2 + 1 é :

Passo 4

Multiplicando os termos, obtemos:
No numerador:
(x - 1)(raiz2x - x^2 + 1)
No denominador, aplicamos a identidade (raiz2x - x^2)^2 - (1)^2 = (2x - x^2) - 1 = 2x - x^2 - 1 :
(x - 1)(raiz2x - x^2 + 1)2x - x^2 - 1
Então, a expressão fica:

Passo 5

Simplificamos o denominador:
2x - x^2 - 1 = -x^2 + 2x - 1 = -(x^2 - 2x + 1) = -(x - 1)^2
Agora, a expressão é:
(x - 1)(raiz2x - x^2 + 1)-(x - 1)^2 = raiz2x - x^2 + 1-(x - 1)

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais cancelando um fator raiz2x - x^2 + 1-(x - 1) = -raiz2x - x^2 + 1x - 1 no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, observamos que quando -raiz2 cdot 1 - 1^2 + 11 - 1 = -raiz2 - 1 + 10 = -1 + 10 = -20 se aproxima de 1, a expressão ainda pode ser simplificada substituindo :
Substituindo na expressão simplificada:
No entanto, sugere que o limite tende para .

Resposta

O limite é igual a .

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