Estude o sinal das seguintes expressões, indicando num esboço os valores de x em R onde elas são positivas, negativas, zero ou não definidas.
\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 (x + 1)(2 - 3x) / (x(x + 2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é estudar o sinal da expressão . Isso faz parte da matéria de Funções Racionais. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essa expressão é positiva, negativa, zero ou não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de que fazem o numerador e o denominador serem zero, porque nesses pontos a expressão pode mudar de sinal ou não estar definida.
Numerador :
Denominador :

Passo 3

Agora, vamos colocar esses valores na reta dos números reais para dividir em intervalos. Os pontos que vamos considerar são , , e . Esses pontos dividem a linha dos números em cinco intervalos:

Passo 4

Em cada intervalo, vamos escolher um valor de para testar o sinal da expressão. Vamos multiplicar os sinais de cada fator no numerador e denominador.
  1. Para (vamos escolher ):
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • Sinal total: (negativo)
  2. Para (vamos escolher ):
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    • Sinal total: (positivo)
  3. Para (vamos escolher ):
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    • Sinal total: (negativo)
  4. Para (vamos escolher ):
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • Sinal total: (positivo)
  5. Para (vamos escolher ):
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • Sinal total: (negativo)

Resposta

A expressão é:
  • Negativa para , e
  • Positiva para e
  • Zero quando ou
  • Não definida para e

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