Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
lim x 3 x^3+9 x^2+20 xx^2+x-12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 3 para a função . Isso envolve o conteúdo de limites e a álgebra para simplificar a expressão. Vamos precisar ver se, ao substituir , a gente consegue encontrar um valor ou se a expressão fica indefinida.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3^3 + 9 times 3^2 + 20 times 3 = 27 + 81 + 60 = 168 diretamente na função para ver o que acontece:
Numerador:
3^2 + 3 - 12 = 9 + 3 - 12 = 0
Denominador:
Aí, o denominador ficou 0, o que dá um problema porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Quando a substituição direta resulta em uma divisão por zero, isso pode indicar que x^2 + x - 12 é um fator comum no numerador e no denominador. Vamos tentar fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Começando pelo denominador:
x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)
Queremos encontrar dois números que multiplicados dão -12 e somados dão 1. Esses números são 4 e -3. Então:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador:
x^3 + 9x^2 + 20x
Primeiro, podemos fatorar um x(x^2 + 9x + 20) :
x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x(x + 4)(x + 5) . Precisamos de dois números que multiplicados dão 20 e somados dão 9. Esses números são 4 e 5. Então:
Portanto, o numerador fica:

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos reescrever a expressão original:
x(x + 4)(x + 5)(x + 4)(x - 3)
Perceba que o fator x(x + 5)x - 3 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada quando limx to 3 x(x + 5)x - 3 se aproxima de 3:
3(3 + 5)3 - 3 = 3 times 80 = 240
Substituindo :
Isso indica que o limite tende para infinito. Como o denominador se aproxima de 0 a partir de valores positivos, o limite tende para .

Resposta

limx to 3 x^3 + 9x^2 + 20xx^2 + x - 12 = +infty

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