Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 3 para a função
. Isso envolve o conteúdo de limites e a álgebra para simplificar a expressão. Vamos precisar ver se, ao substituir
, a gente consegue encontrar um valor ou se a expressão fica indefinida.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece:
Numerador:
Denominador:
Aí, o denominador ficou 0, o que dá um problema porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos investigar mais a fundo.
Passo 3
Quando a substituição direta resulta em uma divisão por zero, isso pode indicar que
é um fator comum no numerador e no denominador. Vamos tentar fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Começando pelo denominador:
Queremos encontrar dois números que multiplicados dão -12 e somados dão 1. Esses números são 4 e -3. Então:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o numerador:
Primeiro, podemos fatorar um
:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Precisamos de dois números que multiplicados dão 20 e somados dão 9. Esses números são 4 e 5. Então:
Portanto, o numerador fica:
Passo 5
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos reescrever a expressão original:
Perceba que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada quando
se aproxima de 3:
Substituindo
:
Isso indica que o limite tende para infinito. Como o denominador se aproxima de 0 a partir de valores positivos, o limite tende para
.
Resposta
Exercícios relacionados
Escreva como uma unica fração e fatore ao máximo o numerador e o denominador, mas não simplifique o resultado.
Encontre o dominio (o maior possivel), a imagem, o conjunto de zeros, faça o estudo do sinal e esboce o gráfico:
Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
Use a desigualdade triangular para mostrar que
sabendo que
e
.