Encontre o dominio (o maior possivel), a imagem, o conjunto de zeros, faça o estudo do sinal e esboce o gráfico:
f(x) = { 2x, x <= -1; 1 - x, x > 1 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos encontrar o domínio, a imagem, o conjunto de zeros, estudar o sinal da função e esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas partes e como trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Na nossa função, está definida para e para . Não há definição para valores de entre -1 e 1. Portanto, o domínio é:
í

Passo 3

Imagem: A imagem da função é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Vamos analisar cada parte:
  1. Para :
Como vai até , também vai até . Quando :
Então, para esta parte, a imagem é .
  1. Para :
À medida que aumenta, diminui sem limite inferior. Quando se aproxima de 1:
Então, para esta parte, a imagem é .
Portanto, a imagem total é:

Passo 4

Conjunto de Zeros: São os valores de para os quais .
  1. Para :
Mas não está no domínio dessa parte, então não há zeros aqui.
  1. Para :
Mas não está incluído ( ), então também não há zeros nesta parte.
Portanto, a função não possui zeros.

Passo 5

Estudo do Sinal: Vamos ver onde a função é positiva ou negativa.
  1. Para :
Como , multiplicando por 2, será sempre negativo:
  1. Para :
Como , será sempre negativo:
Portanto, a função é negativa para todo no seu domínio.

Passo 6

Esboço do Gráfico: Vamos desenhar o gráfico da função considerando as duas partes.
  1. Para :
Isso é uma reta com coeficiente angular 2, passando pelo ponto . Como vai até , a reta desce para a esquerda.
  1. Para :
Esta é uma reta com coeficiente angular -1, passando pelo ponto . A reta desce para a direita a partir de .
Entre e , a função não está definida, então teremos um intervalo vazio.
Gráfico:

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Conjunto de Zeros: A função não possui zeros.
  • Estudo do Sinal: para todo no domínio.
  • Gráfico: Conforme descrito no passo anterior.

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