Encontre o dominio (o maior possivel), a imagem, o conjunto de zeros, faça o estudo do sinal e esboce o gráfico:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos encontrar o domínio, a imagem, o conjunto de zeros, estudar o sinal da função e esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas partes e como trabalhar com funções definidas por partes.
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Na nossa função,
está definida para
e para
. Não há definição para valores de
entre -1 e 1. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Imagem: A imagem da função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Vamos analisar cada parte:
- Para
:
Como
vai até
,
também vai até
. Quando
:
Então, para esta parte, a imagem é
.
- Para
:
À medida que
aumenta,
diminui sem limite inferior. Quando
se aproxima de 1:
Então, para esta parte, a imagem é
.
Portanto, a imagem total é:
Passo 4
Conjunto de Zeros: São os valores de
para os quais
.
- Para
:
Mas
não está no domínio dessa parte, então não há zeros aqui.
- Para
:
Mas
não está incluído (
), então também não há zeros nesta parte.
Portanto, a função não possui zeros.
Passo 5
Estudo do Sinal: Vamos ver onde a função é positiva ou negativa.
- Para
:
Como
, multiplicando por 2,
será sempre negativo:
- Para
:
Como
,
será sempre negativo:
Portanto, a função
é negativa para todo
no seu domínio.
Passo 6
Esboço do Gráfico: Vamos desenhar o gráfico da função considerando as duas partes.
- Para
:
Isso é uma reta com coeficiente angular 2, passando pelo ponto
. Como
vai até
, a reta desce para a esquerda.
- Para
:
Esta é uma reta com coeficiente angular -1, passando pelo ponto
. A reta desce para a direita a partir de
.
Entre
e
, a função não está definida, então teremos um intervalo vazio.
Gráfico:
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Conjunto de Zeros: A função não possui zeros.
- Estudo do Sinal:
para todo no domínio. - Gráfico: Conforme descrito no passo anterior.
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Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta. Consideramos a e
constantes reais näo nulas.
Suponha que
e
.
Determine números e
de modo que o intervalo
seja formado pelos valores
tais que
.
Determine números
Escreva como uma unica fração e fatore ao máximo o numerador e o denominador, mas não simplifique o resultado.
Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.