Use a desigualdade triangular para mostrar que |x + y - 5| < 5 sabendo que |x-2|<1 e |y - 3| < 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que usando a desigualdade triangular. A gente sabe que e . Então, vamos precisar entender como a desigualdade triangular funciona e aplicá-la nessas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que fique mais fácil de usar a desigualdade triangular. Observe que:
Isso porque:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números reais e :
No nosso caso, e . Então:
Isso nos dá:

Passo 4

Sabemos pelas condições do exercício que:
Então, somando essas desigualdades:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na nossa desigualdade triangular:
Portanto:

Resposta

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