Use a desigualdade triangular para mostrar que
sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que
usando a desigualdade triangular. A gente sabe que
e
. Então, vamos precisar entender como a desigualdade triangular funciona e aplicá-la nessas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que fique mais fácil de usar a desigualdade triangular. Observe que:
Isso porque:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números reais
e
:
No nosso caso,
e
. Então:
Isso nos dá:
Passo 4
Sabemos pelas condições do exercício que:
Então, somando essas desigualdades:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na nossa desigualdade triangular:
Portanto:
Resposta
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Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
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