Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conceitos de limites e propriedades de logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que pode ser escrita como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 4

Simplificamos ainda mais usando a propriedade :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada parte separadamente quando se aproxima de 0.
Para :
Para :
Primeiro, encontramos o limite dentro do logaritmo:
Então,

Passo 6

Finalmente, somamos os limites encontrados:

Resposta

O limite é igual a 2.

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Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.
Dada a função .
Encontre o domínio de e os zeros de (pontos do domínio tais que ).
Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.
.
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade : .