Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.
lim x 0 ln [(e+x) raize^2-x+x^2]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conceitos de limites e propriedades de logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que ln [(e + x) (e^2 - x + x^2)^1/2] pode ser escrita como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que ln(e + x) + ln((e^2 - x + x^2)^1/2) . Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 4

Simplificamos ainda mais usando a propriedade ln(e + x) + 12 ln(e^2 - x + x^2) :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada parte separadamente quando limx to 0 ln(e + x) = ln(e + 0) = ln e = 1 se aproxima de 0.
Para limx to 0 (e^2 - x + x^2) = e^2 - 0 + 0 = e^2 :
12 ln(e^2) = 12 cdot 2 ln e = ln e = 1
Para :
Primeiro, encontramos o limite dentro do logaritmo:
Então,

Passo 6

Finalmente, somamos os limites encontrados:
1 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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