Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está ligado ao estudo de limites em cálculo, onde queremos saber o comportamento de uma função quando a variável
se aproxima de um valor específico, aqui
. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função no numerador:
. Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada pela sua própria identidade, ou seja,
quando
está perto de zero. Nesse caso,
, então podemos dizer que
quando
está próximo de zero.
Passo 3
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Aqui, o
no numerador e no denominador cancela, ficando:
Passo 4
Outra forma de resolver esse limite é utilizando a regra de L’Hôpital, que é aplicável quando temos uma forma indeterminada do tipo
. Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então, aplicando a regra: