Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.
lim x 0 sen(pi x)3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está ligado ao estudo de limites em cálculo, onde queremos saber o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um valor específico, aqui . Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função no numerador: . Sabemos que, para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada pela sua própria identidade, ou seja, quando está perto de zero. Nesse caso, , então podemos dizer que quando está próximo de zero.

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
sen(pi x)3 x approx pi x3 x
Aqui, o pi3 no numerador e no denominador cancela, ficando:

Passo 4

Outra forma de resolver esse limite é utilizando a regra de L’Hôpital, que é aplicável quando temos uma forma indeterminada do tipo lim x 0 pi cos(pi x)3 = pi cos(0)3 = pi cdot 13 = pi3 . Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Então, aplicando a regra:

Resposta

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