Dada a função .
Encontre o domínio de e os zeros de (pontos do domínio tais que ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O que a gente precisa encontrar aqui é o domínio da função, ou seja, todos os valores de que fazem sentido para a função, e também os zeros da função, que são os pontos onde . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, que são frações de polinômios, e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função racional inclui todos os números reais, exceto aqueles que fazem o denominador igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, vamos encontrar os valores de que zeram o denominador .

Passo 3

Para encontrar esses valores, vamos resolver a equação . Podemos tentar fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e , porque e . Então, a fatoração fica:

Passo 4

Agora, para encontrar onde o denominador é zero:
Isso acontece quando ou . Resolvendo essas equações, temos:

Passo 5

Portanto, o domínio da função são todos os números reais menos e , porque nesses valores o denominador fica zero e a função não está definida.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, precisamos que o numerador seja igual a zero, desde que esses valores estejam no domínio da função. Então, vamos resolver:

Passo 7

Vamos fatorar o numerador. Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e , então a fatoração é:

Passo 8

Igualando a zero:

Passo 9

Mas lembra que no domínio, não podemos ter porque o denominador fica zero. Então, mesmo que o numerador também seja zero nesse ponto, não está no dom��nio e, portanto, não é um zero da função.

Resposta

  • Domínio de : Todos os números reais exceto e .
  • Zeros de : Não há zeros, já que não está no domínio da função.

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Dada a função .
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