Dada a função
.
Encontre o domínio de
e os zeros de
(pontos
do domínio tais que
).
Encontre o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. O que a gente precisa encontrar aqui é o domínio da função, ou seja, todos os valores de
que fazem sentido para a função, e também os zeros da função, que são os pontos onde
. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, que são frações de polinômios, e fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função racional inclui todos os números reais, exceto aqueles que fazem o denominador igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, vamos encontrar os valores de
que zeram o denominador
.
Passo 3
Para encontrar esses valores, vamos resolver a equação
. Podemos tentar fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
, porque
e
. Então, a fatoração fica:
Passo 4
Agora, para encontrar onde o denominador é zero:
Isso acontece quando
ou
. Resolvendo essas equações, temos:
Passo 5
Portanto, o domínio da função
são todos os números reais menos
e
, porque nesses valores o denominador fica zero e a função não está definida.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, precisamos que o numerador seja igual a zero, desde que esses valores estejam no domínio da função. Então, vamos resolver:
Passo 7
Vamos fatorar o numerador. Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
, então a fatoração é:
Passo 8
Igualando a zero:
Passo 9
Mas lembra que no domínio, não podemos ter
porque o denominador fica zero. Então, mesmo que o numerador também seja zero nesse ponto,
não está no dom��nio e, portanto, não é um zero da função.
Resposta
- Domínio de
: Todos os números reais exceto e . - Zeros de
: Não há zeros, já que não está no domínio da função.
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(b)
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Dada a função
.
Encontre as assíntotas horizontais de .
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Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.
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