Encontre o vetor tangente, normal, e a curvatura das curvas
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura da curva dada pela função vetorial
Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e propriedades das curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada da posição em relação a . Ou seja, calculamos .
Derivando cada componente de :
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, o vetor tangente é o vetor velocidade normalizado. Para normalizar, dividimos o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, encontramos a magnitude de :
Como pode ser positivo ou negativo, mas para simplificação consideramos :
Então, o vetor tangente é:
Passo 4
Para encontrar o vetor normal, precisamos da derivada do vetor tangente em relação a , ou seja, .
Calculando :
Esse vetor já está normalizado, pois:
Portanto, o vetor normal é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a curvatura da curva, usando a fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar , que é a segunda derivada da posição.
Derivando :
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial :
Como as componentes são zero, o produto vetorial resulta em: