Calcule os limites
(f) lim x pi2(cos (x))^x-pi2

Passo 1

Vamos estudar o problema de calcular o limite . Esse exercício pertence à área de Cálculo, mais especificamente ao estudo de Limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que têm potências com bases e expoentes que se aproximam de valores que podem gerar formas indeterminadas, como .

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de :
  • se aproxima de 0, já que .
  • também se aproxima de 0.
Portanto, temos uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos utilizar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos chamar o limite que queremos calcular de L = lim x pi2(cos (x))^x-pi2 :
ln(L) = lim x pi2 ( x - pi2 ) cdot ln(cos(x))
Aplicamos o logaritmo natural na expressão para facilitar a manipulação:
Agora, nosso objetivo é calcular esse novo limite e depois aplicar a exponenciação para encontrar .

Passo 4

Vamos analisar a expressão ( x - pi2 ) cdot ln(cos(x)) = ln(cos(x))1x - pi2 :
  • tende a 0.
  • tende a , já que tende a 0.
Portanto, temos uma forma do tipo , que ainda é indeterminada. Para resolver, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma , que permite o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração onde o numerador e o denominador tendem a infinito ou zero, derivando o numerador e o denominador separadamente:
Primeiro, derivamos o numerador ddx ln(cos(x)) = -sin(x)cos(x) = -tan(x) :
ddx ( 1x - pi2 ) = -1( x - pi2 )^2
Em seguida, derivamos o denominador lim x pi2 -tan(x)-1( x - pi2 )^2 = lim x pi2 tan(x) cdot ( x - pi2 )^2 :
Agora, aplicamos a regra:

Passo 6

Analisando o novo limite:
  • À medida que tan(x) cdot ( x - pi2 )^2 = tan(x)1( x - pi2 )^2 se aproxima de , tende a .
  • tende a 0.
Portanto, temos uma forma , que ainda é indeterminada. Podemos novamente reescrever a expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital:
Agora, temos a forma , permitindo outra aplicação da Regra de L’Hôpital.

Passo 7

Aplicando novamente a Regra de L’Hôpital:
Derivando o numerador ddx tan(x) = sec^2(x) :
ddx ( 1( x - pi2 )^2 ) = -2( x - pi2 )^3
Derivando o denominador lim x pi2 sec^2(x)-2( x - pi2 )^3 = lim x pi2 -12 cdot sec^2(x) cdot ( x - pi2 )^3 :
Agora, o limite fica:

Passo 8

Finalmente, analisamos este limite:
  • tende a quando .
  • tende a 0.
Multiplicando por 0 ainda é indeterminado, mas observando a taxa de crescimento:
  • cresce mais rapidamente que tende a zero.
Portanto, o limite geral tende a 0.

Resposta

lim x pi2(cos (x))^x-pi2 = 1

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