Calcule os limites
(f)
(f)
Passo 1
Vamos estudar o problema de calcular o limite
. Esse exercício pertence à área de Cálculo, mais especificamente ao estudo de Limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que têm potências com bases e expoentes que se aproximam de valores que podem gerar formas indeterminadas, como
.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de
:
-
se aproxima de 0, já que . -
também se aproxima de 0.
Portanto, temos uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos utilizar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos chamar o limite que queremos calcular de
:
Aplicamos o logaritmo natural na expressão para facilitar a manipulação:
Agora, nosso objetivo é calcular esse novo limite e depois aplicar a exponenciação para encontrar
.
Passo 4
Vamos analisar a expressão
:
-
tende a 0. -
tende a , já que tende a 0.
Portanto, temos uma forma do tipo
, que ainda é indeterminada. Para resolver, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma
, que permite o uso da Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração onde o numerador e o denominador tendem a infinito ou zero, derivando o numerador e o denominador separadamente:
Primeiro, derivamos o numerador
:
Em seguida, derivamos o denominador
:
Agora, aplicamos a regra:
Passo 6
Analisando o novo limite:
- À medida que
se aproxima de , tende a . -
tende a 0.
Portanto, temos uma forma
, que ainda é indeterminada. Podemos novamente reescrever a expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital:
Agora, temos a forma
, permitindo outra aplicação da Regra de L’Hôpital.
Passo 7
Aplicando novamente a Regra de L’Hôpital:
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 8
Finalmente, analisamos este limite:
-
tende a quando . -
tende a 0.
Multiplicando
por 0 ainda é indeterminado, mas observando a taxa de crescimento:
-
cresce mais rapidamente que tende a zero.
Portanto, o limite geral tende a 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(d) se
(d)
Calcule os limites
(e)
(e)
Derive cada função dos exercícios 9. a 17. (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(h) em
.
(h)