Calcule os limites
(f)

Passo 1

Vamos estudar o problema de calcular o limite . Esse exercício pertence à área de Cálculo, mais especificamente ao estudo de Limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que têm potências com bases e expoentes que se aproximam de valores que podem gerar formas indeterminadas, como .

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de :
  • se aproxima de 0, já que .
  • também se aproxima de 0.
Portanto, temos uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos utilizar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos chamar o limite que queremos calcular de :
Aplicamos o logaritmo natural na expressão para facilitar a manipulação:
Agora, nosso objetivo é calcular esse novo limite e depois aplicar a exponenciação para encontrar .

Passo 4

Vamos analisar a expressão :
  • tende a 0.
  • tende a , já que tende a 0.
Portanto, temos uma forma do tipo , que ainda é indeterminada. Para resolver, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma , que permite o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração onde o numerador e o denominador tendem a infinito ou zero, derivando o numerador e o denominador separadamente:
Primeiro, derivamos o numerador :
Em seguida, derivamos o denominador :
Agora, aplicamos a regra:

Passo 6

Analisando o novo limite:
  • À medida que se aproxima de , tende a .
  • tende a 0.
Portanto, temos uma forma , que ainda é indeterminada. Podemos novamente reescrever a expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital:
Agora, temos a forma , permitindo outra aplicação da Regra de L’Hôpital.

Passo 7

Aplicando novamente a Regra de L’Hôpital:
Derivando o numerador :
Derivando o denominador :
Agora, o limite fica:

Passo 8

Finalmente, analisamos este limite:
  • tende a quando .
  • tende a 0.
Multiplicando por 0 ainda é indeterminado, mas observando a taxa de crescimento:
  • cresce mais rapidamente que tende a zero.
Portanto, o limite geral tende a 0.

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(d) se
Calcule os limites
(e)
Derive cada função dos exercícios 9. a 17. (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(h) em .