Calcule os limites da forma: 00 e inftyinfty: lim x 1 ln [cos (x-1)]1-sin pi x2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx 1 ln [cos (x-1)]1 - sin pi x2
Aqui, estamos lidando com um limite que forma uma indeterminação do tipo quando se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é útil nesses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma indeterminação do tipo ln [cos (1-1)] = ln [cos 0] = ln 1 = 0 . Substituindo 1 - sin pi cdot 12 = 1 - sin pi2 = 1 - 1 = 0 na expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, confirmamos que temos , o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que, se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) é ou , então:
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Derivando o numerador f'(x) = ddx ln [cos (x-1)] = 1cos (x-1) cdot (-sin (x-1)) = -tan (x-1) :
g'(x) = -cos pi x2 cdot pi2 = -pi2 cos pi x2
Derivando o denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
limx 1 ln [cos (x-1)]1 - sin pi x2 = limx 1 -tan (x-1)-pi2 cos pi x2 = limx 1 2 tan (x-1)pi cos pi x2

Passo 6

Simplificando a expressão:
2 tan (x-1)pi cos pi x2 = 2 cdot sin (x-1)/cos (x-1)pi cos pi x2 = 2 sin (x-1)pi cos (x-1) cos pi x2
Agora, vamos calcular o limite substituindo sin (1-1) = sin 0 = 0 :
cos (1-1) = cos 0 = 1
cos pi cdot 12 = cos pi2 = 0
Perceba que ainda temos uma indeterminação , então precisamos aplicar a regra de L’Hôpital novamente.

Passo 7

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador da nova expressão:
Numerador: f'(x) = 2 cos (x-1)
g'(x) = pi [ -sin (x-1) cos pi x2 + cos (x-1) ( -pi2 sin pi x2 ) ]
Denominador: g'(x) = -pi sin (x-1) cos pi x2 - pi^22 cos (x-1) sin pi x2
Usamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 8

Aplicamos novamente a regra de L’Hôpital:
limx 1 2 sin (x-1)pi cos (x-1) cos pi x2 = limx 1 2 cos (x-1)-pi sin (x-1) cos pi x2 - pi^22 cos (x-1) sin pi x2
Agora, substituindo cos (1-1) = cos 0 = 1 :
sin (1-1) = sin 0 = 0
cos pi cdot 12 = cos pi2 = 0
sin pi cdot 12 = sin pi2 = 1
2 cdot 1- pi cdot 0 cdot 0 - pi^22 cdot 1 cdot 1 = 2 - pi^22 = -4pi^2
Substituindo na expressão:

Resposta

O limite é .

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