Calcule os limites da forma:
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com um limite que forma uma indeterminação do tipo
quando
se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é útil nesses casos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma indeterminação do tipo
. Substituindo
na expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, confirmamos que temos
, o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que, se
é
ou
, então:
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 4
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite substituindo
:
Perceba que ainda temos uma indeterminação
, então precisamos aplicar a regra de L’Hôpital novamente.
Passo 7
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador da nova expressão:
Numerador:
Denominador:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos novamente a regra de L’Hôpital:
Agora, substituindo
:
Substituindo na expressão:
Resposta
O limite é
.