Encontre o limite.
(d) lim x infty raiz[x]2 xx+1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Nesse exercício, vamos utilizar conceitos de limites, raízes e funções exponenciais. Precisaremos entender como simplificar expressões que envolvem potências e raízes quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de forma mais conveniente. A raiz raiz[x]2xx+1 = (2xx+1)^1x -ésima de um número pode ser expressa como uma potência com expoente . Então, temos:

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos utilizar a propriedade dos logaritmos que nos permite transformar potências em multiplicações. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
ln((2xx+1)^1x) = 1x ln(2xx+1)
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende ao infinito.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
2xx+1 = 2xx(1 + 1x) = 21 + 1x
À medida que tende ao infinito, tende a 0, então a expressão se aproxima de .

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do logaritmo:
1x ln(21 + 1x) approx 1x ln(2)
Como 1x ln(2) 0 quando x infty é uma constante, temos:

Passo 6

Agora, voltamos ao limite original utilizando a função exponencial:
limx infty (2xx+1)^1x = exp(limx infty 1x ln(2xx+1)) = exp(0) = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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