Encontre o limite.
(d)
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Passo 1
Vamos resolver o limite
. Nesse exercício, vamos utilizar conceitos de limites, raízes e funções exponenciais. Precisaremos entender como simplificar expressões que envolvem potências e raízes quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão de forma mais conveniente. A raiz
-ésima de um número pode ser expressa como uma potência com expoente
. Então, temos:
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos utilizar a propriedade dos logaritmos que nos permite transformar potências em multiplicações. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
À medida que
tende ao infinito,
tende a 0, então a expressão se aproxima de
.
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do logaritmo:
Como
é uma constante, temos:
Passo 6
Agora, voltamos ao limite original utilizando a função exponencial:
Resposta
O limite é igual a 1.