Determine a integração.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, vamos trabalhar com integração por substituição, que é uma técnica usada quando a integral contém uma função composta. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a parte dentro do seno:
. Vamos chamá-la de
, ou seja,
. Isso vai facilitar nossa vida na hora de integrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Calculando, temos:
Isso é ótimo porque
está exatamente na nossa integral original.
Passo 4
Rearranjando a expressão da derivada, conseguimos:
Perceba que na integral original temos
, então vamos ajustar isso:
Isso nos permite substituir parte da integral por
.
Passo 5
Substituindo na integral original, ficamos com:
O que simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar
. A integral de
é
, então:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta: