Determine a integração.
(b) integral-(3 x^2+6) sen(x^3+6 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, vamos trabalhar com integração por substituição, que é uma técnica usada quando a integral contém uma função composta. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte dentro do seno: . Vamos chamá-la de , ou seja, . Isso vai facilitar nossa vida na hora de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 + 6 em relação a , que é . Calculando, temos:
Isso é ótimo porque está exatamente na nossa integral original.

Passo 4

Rearranjando a expressão da derivada, conseguimos:
du = (3x^2 + 6) dx
Perceba que na integral original temos - du = -(3x^2 + 6) dx , então vamos ajustar isso:
Isso nos permite substituir parte da integral por .

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral -(3 x^2+6) sen(x^3+6 x) dx = integral sen(u) (-du)
O que simplifica para:
integral sen(u) (-du) = -integral sen(u) du

Passo 6

Agora, vamos integrar - integral sen(u) du = -(-cos(u)) = cos(u) + C . A integral de é , então:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, vamos voltar para a variável original cos(u) + C = cos(x^3 + 6x) + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

cos(x^3 + 6x) + C

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